Exercice 1 (Questions de cours). Soit D, D ′ droites distinctes d’un plan projectif P 2 sur un corps K , O = D ∩ D ′ . Soit A, B, C ∈ D et A ′ , B ′ , C ′ ∈ D ′ distincts et posons :

G´ eom´ etrie – Master 1 PMG Temps disponible : 3 heures

Toutes les r´ eponses doivent ˆ etre justifi´ ees. Il est possible d’admettre la r´ eponse ` a une question afin de r´ epondre aux questions suivantes, en indiquant le point admis. Il est conseill´ e de choisir un maximum de 4 exercices ` a traiter.

Tous les corps sont commutatifs et de caract´ eristique diff´ erente de 2.

Exercice 1 (Questions de cours). Soit D, D ^′ droites distinctes d’un plan projectif P ² sur un corps K , O = D ∩ D ^′ . Soit A, B, C ∈ D et A ^′ , B ^′ , C ^′ ∈ D ^′ distincts et posons :

a = ( BC ^′ ) ∩ ( CB ^′ ) , b = ( AC ^′ ) ∩ ( CA ^′ ) , c = ( AB ^′ ) ∩ ( BA ^′ ) , A = P ² ∖ ( bc ) . 1. ´ Enoncer le th´ eor` eme de Pappus portant sur a, b, c.

2. Montrer que les points a, b, c sont distincts.

3. Justifier que A est un plan affine. Montrer le th´ eor` eme de Pappus si O ∈ A . 4. Montrer le th´ eor` eme de Pappus si O ∈ ( bc ) .

5. Soit A = ( 0 ∶ 1 ∶ 0 ) , B = ( 0 ∶ 1 ∶ 1 ) , C = ( 0 ∶ 1 ∶ 2 ) , A ^′ = ( 1 ∶ 0 ∶ 2 ) , B ^′ = ( 1 ∶ 0 ∶ 1 ) , C ^′ = (1 ∶ 0 ∶ 0). Donner l’´ equation de la droite par a, b, c.

Corrig´ e 1. Esquisse de r´ eponses.

1. Pappus stipule que a, b, c sont align´ es.

2. Supposons par l’absurde que deux parmi les trois points soient confondus, par exemple a = b. Alors a ∈ ( CA ^′ ) ∩ ( CB ^′ ) = { C } , car A ^′ ≠ B ^′ , donc a = C. Par le mˆ eme argument, b ∈ ( AC ^′ ) ∩ ( BC ^′ ) = { C ^′ } , b = C ^′ . Ainsi C = a = b = C ^′ , ce qui est absurde. De mˆ eme si on suppose a = c ou b = c on parvient ` a une contradiction.

3. On sait que, si F est une droite projective de P ² , alors P ² ∖ F est un plan affine.

Les droites ( AC ^′ ) ∩ A et ( CA ^′ ) ∩ A sont parall` eles, car leur point d’intersection b n’appartient pas ` a A. De mˆ eme (AB ^′ ) ∩ A et (BA ^′ ) ∩ A sont parall` eles.

Soit λ ∈ K tel que # —

OC = λ # —

OA. Par Thal` es, on a # —

OA ^′ = λ # —

OC ^′ . Donc l’homoth´ etie ϕ de centre O et rapport λ satisfait ϕ ( A ) = C et ϕ ( C ^′ ) = A ^′ . De mˆ eme on a une homoth´ etie ψ de centre O qui satisfait ψ ( B ) = A et ψ ( A ^′ ) = B ^′ . On a ϕ ( ψ ( B )) = C.

Comme ϕ et ψ sont homoth´ eties de mˆ eme centre, elles commutent, donc ϕ ( ψ ( C ^′ )) =

B ^′ . Ainsi, par la r´ eciproque de Thal` es, (BC <sup>′</sup> ) ∩ A et (CB <sup>′</sup> ) ∩ A sont parall` eles, donc

a appartient ` a la droite ` a l’infini, ` a savoir ( bc ) . Ainsi, a, b, c sont align´ es.

4. De nouveau ( AC ^′ ) ∩ A et ( CA ^′ ) ∩ A sont parall` eles, de mˆ eme que ( AB <sup>′</sup> ) ∩ A et ( BA <sup>′</sup> )∩A ; cette fois D et D <sup>′</sup> sont aussi parall` eles. Par le lemme du parall´ elogramme,

# —

AC = # —

C ^′ A ^′ . La translation ϕ de vecteur # —

AC satisfait donc ϕ(A) = C et ϕ(C ^′ ) = A ^′ . De mˆ eme la translation ψ de vecteur BC # — satisfait ψ(B) = A et ψ(A ^′ ) = B ^′ . On a ϕ ( ψ ( B )) = C et, comme ϕ et ψ commutent (en tant que translations) on a ϕ(ψ(C ^′ )) = B ^′ . Ainsi, (BC ^′ ) ∩ A et (CB ^′ ) ∩ A sont parall` eles, donc a ∈ (bc) et a, b, c sont align´ es.

5. On calcule ` a titre d’´ equation de la droite par ( BC ^′ ) . Cette droite passe par les points B = (0 ∶ 1 ∶ 1) et C ^′ = (1 ∶ 0 ∶ 0) donc elle s’´ ecrit :

( BC ^′ ) = V

⎛

⎜

⎝ det

⎛

⎜

⎝

x ₀ x ₁ x ₂

0 1 1

1 0 0

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

= V ( x ₁ − x ₂ ) . On a calcule ainsi D = V (x ₀ ) et D ^′ = V (x ₁ ) puis on ´ ecrit :

( BC ^′ ) = V ( x 1 − x 2 ) , ( CB ^′ ) = V (− x 0 − 2x 1 + x 2 ) , ( AC ^′ ) = V ( x ₂ ) , ( CA ^′ ) = V (− 2x ₀ − 2x ₁ + x ₂ ) , (AB ^′ ) = V (x ₀ − x ₂ ), (BA ^′ ) = V (−2x ₀ − x ₁ + x ₂ ).

Donc :

a = (1 ∶ −1 ∶ −1), b = (1 ∶ −1 ∶ 0), c = (1 ∶ −1 ∶ 1).

Ainsi la droite qui contient a, b, c est V ( x 1 + x 2 ) .

Exercice 2. Soit q ∶ R ⁴ → R une forme quadratique non d´ eg´ en´ er´ ee et Q = V ( q ) ⊂ P ³ _R la quadrique lisse associ´ ee.

1. Soit Q non vide. Justifier que Q est projectivement ´ equivalente ` a Q ₁ ou Q ₂ avec : Q ₁ = V ( x 0 x 3 − x 1 x 2 ) , Q ₂ = V ( x ² ₀ − x ² ₁ − x ² ₂ − x ² ₃ ) .

2. Montrer que l’on a une application bien d´ efinie ϕ ∶ P ¹ _R × P ¹ _R → Q ₁ donn´ ee par : ϕ ∶ (( s 0 ∶ s 1 ) , ( t 0 ∶ t 1 )) ↦ ( s 0 t 0 ∶ s 0 t 1 ∶ s 1 t 0 ∶ s 1 t 1 ) .

3. Montrer que ϕ est bijective.

4. Justifier que ϕ est un hom´ eomorphisme.

5. Justifier que Q ₂ est hom´ eomorphe ` a une sph` ere de R ³ .

Corrig´ e 2. On utilise que deux formes quadratiques d´ efinissent deux quadriques projec-

tivement ´ equivalentes ssi elles ont mˆ eme signature, ` a un signe pr` es.

1. Il a 5 signatures possibles pour une forme quadratique non d´ eg´ en´ er´ ee q sur R ⁴ . Au signe pr` es, ces signatures sont ( 0, 4 ) , ( 1, 3 ) et ( 2, 2 ) . Mais une forme quadratique de signature ( 0, 4 ) d´ efinit une quadrique vide, donc il ne reste que deux signatures possibles, au signe pr` es. Or les deux formes d´ efinissant Q ₁ et Q ₂ ont bien signature ( 2, 2 ) et ( 1, 3 ) . En effet, pour Q ₂ l’affirmation est ´ evidente, tandis que pour Q ₁ il suffit d’´ ecrire 4(x ₀ x ₃ + x ₁ x ₂ ) = (x ₀ + x ₃ ) ² − (x ₀ − x ₃ ) ² + (x ₁ + x ₂ ) ² − (x ₁ − x ₂ ) ² . Ceci ach` eve la preuve.

2. D’abord, l’expression de ϕ est bien pos´ ee car pour tout λ, µ ∈ R ^∗ on a : ( λs 0 ⋅ µt 0 ∶ λs 0 ⋅ µt 1 ∶ λs 1 ⋅ µt 0 ∶ λs 1 µ ⋅ t 1 ) = ( s 0 t 0 ∶ s 0 t 1 ∶ s 1 t 0 ∶ s 1 t 1 ) .

Aussi, il est clair qu’un point ( x 0 ∶ . . . ∶ x 3 ) = ( s 0 t 0 ∶ s 0 t 1 ∶ s 1 t 0 ∶ s 1 t 1 ) dans l’image de ϕ appartient ` a Q ₁ puisque ce point satisfait x ₀ x ₃ − x ₁ x ₂ = s ₀ s ₁ t ₀ t ₁ − s ₀ s ₁ t ₀ t ₁ = 0.

3. Montrons que ϕ est surjective. On commence par consid´ erer ( x ₀ ∶ . . . ∶ x ₃ ) ∈ Q ₁ tel que x i = 0 pour un certain i ∈ J 0, 3 K . Soit i = 0. On a donc x 1 x 2 = 0 de sorte que x 1 = 0 ou x 2 = 0. Si x 1 = 0, alors on voit que ( 0 ∶ 0 ∶ x 2 ∶ x 3 ) = ϕ (( 0 ∶ 1 ) , ( x 2 ∶ x 3 )) . Si x ₂ = 0, on a (0 ∶ x ₁ ∶ 0 ∶ x ₃ ) = ϕ((x ₁ ∶ x ₃ ), (0 ∶ 1)). On traite de mani` ere similaire les autres cas i = 1, . . . , i = 3 et on conclut que ϕ est surjective sur Q ∩ H i pour i ∈ J 0, 3 K o` u H _i = V (x _i ). On voit aussi l’unicit´ e des ant´ ec´ edents trouv´ es des points ( x 0 ∶ . . . ∶ x 3 ) ∈ Q ₁ tels que x i = 0 pour au moins une valeur de i ∈ J 0, 3 K .

On suppose d´ esormais que x _i ≠ 0 pour tout i ∈

J 0, 3 K . On cherche ( s ₀ ∶ s ₁ ) et ( t 0 ∶ t 1 ) points de P ¹ _R tels que :

⎧ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎨

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎩

s ₀ t ₀ = x ₀ , s 0 t 1 = x 1 , s ₁ t ₀ = x ₂ , s 1 t 1 = x 3 .

On doit avoir s _i ≠ 0 ≠ t _i pour i = 0, 1 et t ₀ = x ₀ / s ₀ , t ₁ = x ₁ / s ₀ et s ₁ = x ₂ / t ₀ = ( x 2 / x 0 ) s 0 . De cette mani` ere on d´ etermine s 1 , t 0 , t 1 ` a partir de ( x 0 , . . . , x 3 ) et s 0 . La derni` ere ´ egalit´ e s 1 t 1 = x 3 est valide car :

s ₁ t ₁ = x ₁ x ₂

s ₀ t ₀ = x ₁ x ₂

x ₀ = x ₃ .

Ainsi, ((s ₀ ∶ s ₁ ), (t ₀ ∶ t ₁ )) est un ant´ ec´ edent de (x ₀ ∶ . . . ∶ x ₃ ).

L’unicit´ e de ces ant´ ec´ edents est aussi claire. En effet, nous avons remarqu´ e que s ₁ , t ₀ , t ₁ sont d´ etermin´ es ` a partir de s <sub>0</sub> ≠ 0 et des valeurs x <sub>0</sub> , . . . , x <sub>3</sub> . Par ailleurs, si on choisit λ ∈ R <sup>∗</sup> et on consid` ere x ^′ _i = λx i pour i ∈ J 0, 3 K alors, s 0 ∈ R ^∗ et t 0 ∈ R ^∗

´ etant choisis, on a s ₁ = ( x ^′ ₂ / x ^′ ₀ ) s ₀ = ( x ₂ / x ₀ ) s ₀ et t ₁ = x ^′ ₁ / s ₀ = ( x ^′ ₁ / x ^′ ₀ ) t ₀ = ( x ₁ / x ₀ ) t ₀ . Donc ( s 0 ∶ s 1 ) et ( t 0 ∶ t 1 ) sont d´ etermin´ es uniquement ` a partir de ( x 0 ∶ . . . ∶ x 3 ) . 4. On montre que ϕ est continue. On consid` ere Φ ∶ R ⁴ → R ⁴ d´ efinie par

Φ ( s 0 , s 1 , t 0 , t 1 ) = ( s 0 t 0 , s 0 t 1 , s 1 t 0 , s 1 t 1 ) , continue en tant que fonction polynomiale en chaque coordonn´ ee. La projection canonique π ∶ R ⁴ ∖ {0} → P ³ _R fournit une application continue comme composition d’applications continues :

π ○ Φ ∶ R ² ∖ { 0 } × R ² ∖ { 0 } → P ³ _R .

Soit τ le produit des deux projections canoniques R ² ∖ { 0 } → P ¹ _R qui associent ( s 0 ∶ s 1 ) ` a ( s 0 , s 1 ) et ( t 0 ∶ t 1 ) ` a ( t 0 , t 1 ) . On a ϕ ○ τ = π ○ Φ continue donc, comme P ¹ _R × P ¹ _R est muni de la topologie quotient associ´ ee ` a τ , l’application ϕ est continue.

Maintenant ϕ est continue et bijective sur son image Q ₁ . De plus,, P ¹ _R × P ¹ _R est compact en tant que produit de compacts. Conclusion : ϕ est un hom´ eomorphisme en tant que bijection de P ¹ _R × P ¹ _R sur Q ₁ , l’espace source ´ etant compact et l’espace but ´ etant s´ epar´ e (en tant que partie de P ³ _R , qui est s´ epar´ e).

5. Pour justifier que Q ₂ est hom´ eomorphe ` a une sph` ere de R ³ , il suffit de consid´ erer

l’ouvert affine U ₀ = P ³ _R ∖ V ( x 0 ) de P ³ _R constitu´ e des points de la forme ( 1 ∶ x 1 ∶

x ₂ ∶ x ₃ ) . Alors Q ₂ ∩ U ₀ = Q ₂ car ( x ₀ ∶ . . . ∶ x ₃ ) ∈ Q ₂ ∩ V ( x ₀ ) implique x ₀ = 0 et

x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ = 0, donc x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 0, ce qui donne l’ensemble vide dans P ³ _R .

Par ailleurs, U ₀ est hom´ eomorphe ` a R ³ via l’application qui envoie ( x 1 , x 2 , x 3 ) sur

(1 ∶ x ₁ ∶ x ₂ ∶ x ₃ ) et l’image r´ eciproque de Q ₂ ∩ U ₀ est consitu´ ee des points (x ₁ , x ₂ , x ₃ )

de R ³ tels que x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ = 1, ce qui est une sph` ere de R ³ .

Exercice 3. Soit K un corps et A ₁ , . . . , A ₅ points distincts de P ¹ _K . 1. Montrer l’identit´ e suivante :

[ A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ][ A 1 , A 2 , A 4 , A 5 ][ A 1 , A 2 , A 5 , A 3 ] = 1.

2. D´ ecrire l’unique homographie σ de P ¹ _K telle que σ (∞) = 0, σ ( 0 ) = ∞ , σ ( 1 ) = 1 puis en d´ eduire [A ₂ , A ₁ , A ₃ , A ₄ ] = [A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ] ⁻¹ .

3. Soit G l’ensemble des homographies de P ¹ _K pr´ eservant S = {∞ , 0, 1 } ⊂ P ¹ _K . Montrer que G est un sous groupe de PGL ₂ ( K ) puis en calculer l’ordre.

4. Exprimer chaque ´ el´ ement de G sous la forme z ↦ ^az+b _cz+d avec a, b, c, d ∈ K .

5. En d´ eduire l’expression de [ A _σ(1) , A _σ(2) , A _σ(3) , A 4 ] en fonction de [ A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ] , pour tout σ ∈ S ₃ .

Corrig´ e 3. On utilisera la formule, pour A, B, C, D ∈ P ¹ _K = K ∪ {∞} distincts : [ A, B, C, D ] = D − B

D − A C − A C − B .

1. On calcule [A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ][A ₁ , A ₂ , A ₄ , A ₅ ][A ₁ , A ₂ , A ₅ , A ₃ ] et on obtient : A 4 − A 2

A 4 − A 1

A 3 − A 1

A 3 − A 2

A 5 − A 2

A 5 − A 1

A 4 − A 1

A 4 − A 2

A 3 − A 2

A 3 − A 1

A 5 − A 1

A 5 − A 2

= 1.

2. Soit a, b, c, d ∈ K tels que σ ( z ) = ( az + b )/( cz + d ) , donc σ ( 0 ) = ∞ implique d = 0.

Aussi, σ (∞) = 0 implique a = 0. Donc σ ( z ) = b /( cz ) . Comme σ ( 1 ) = 1 on a b / c = 1 et σ ( z ) = 1 / z.

On sait que, si ϕ est l’unique homographie qui envoie A 1 sur ∞ , A 2 sur 0 et A ₃ sur 1, alors ϕ(A ₄ ) = [A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ], posons z ∈ K ^∗ pour ce birapport.

Ainsi, σ ○ ϕ envoie A 1 sur 0, A 2 sur ∞ , A 3 sur 1, donc σ ○ ϕ envoie A 4 sur [A ₂ , A ₁ , A ₃ , A ₄ ]. Par ailleurs, si λ = ϕ(A ₄ ) = [A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ] alors σ ○ ϕ(A ₄ ) = 1/λ, donc [ A 2 , A 1 , A 3 , A 4 ] = 1 /[ A 1 , A 2 , A 3 , A 4 ] .

3. Il est clair que l’identit´ e pr´ eserve S et que la composition d’homographies fixant S fixe S. Aussi, si ϕ fixe S alors ϕ ⁻¹ ( S ) = ϕ ⁻¹ ( ϕ ( S )) = S, donc G est un sous groupe de PGL ₂ ( K ) . Un ´ el´ ement ϕ ∈ G induit une permutation ρ _ϕ de S, et l’application ϕ ↦ ρ _ϕ est un morphisme de groupes. On sait que la seule homographie fixant un rep` ere projectif est l’identit´ e, donc ρ ϕ = id S implique ϕ = id _P

K

. Par cons´ equent G ≃ Im(ρ) est un sous groupe de S _S ≃ S ₃ .

Ce sous groupe est S _S tout entier. Pour le voir, ´ etant donn´ es a, b, c ∈ S, notons (a, b) la transposition qui envoie a sur b et (a, b, c) le 3-cycle qui envoie a sur b et b sur c. La transposition τ = ( 0, ∞) satisfait τ = ρ σ tandis que, si τ = ( 0, 1 ) alors τ = ρ _ϕ avec ϕ ( z ) = 1 − z. Comme ces deux transpositions engendrent S _S , on a ρ surjective.

4. Les ´ el´ ements de G que nous n’avons pas d´ ej` a ´ ecrits sont ( 1, ∞) = ρ _ϕ avec ϕ ( z ) =

z/(1 − z), puis (0, ∞, 1) = ρ _ϕ avec ϕ(z) = (1 − z)/z et enfin (0, 1, ∞) = ρ _ϕ avec

ϕ ( z ) = 1 /( 1 − z ) .

5. On peut ´ ecrire tous les ´ el´ ements de S ₃ et d´ eduire la valeur di birapport demand´ e en utilisant la question pr´ ec´ edente :

[A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ ] = λ, σ = ( 12 ) , [ A 2 , A 1 , A 3 , A 4 ] = 1

λ , σ = (13), [A ₃ , A ₂ , A ₁ , A ₄ ] = 1 − λ, σ = ( 23 ) , [ A 1 , A 3 , A 2 , A 4 ] = λ

1 − λ , σ = ( 123 ) , [ A 2 , A 3 , A 1 , A 4 ] = 1 − λ

λ , σ = (132), [A ₃ , A ₁ , A ₂ , A ₄ ] =

1 1 − λ .

Exercice 4. La lettre K d´ esignera le corps R ou C . Soit P ² = P ² _K . Consid´ erons les matrices N, M ∈ M 3 ( K ) :

N =

⎛

⎜

⎝

0 −1 1

− 2 1 1

−2 −1 −1

⎞

⎟

⎠

, M =

⎛

⎜

⎝

2 0 0

− 2 0 2

−2 2 0

⎞

⎟

⎠ .

Notons ϕ et ψ les homographies de P ² d´ efinies par N et M . Rappelons qu’une droite D ⊂ P ² est une droite fixe de ϕ si ϕ (D) = D .

1. Montrer que ϕ poss` ede un seul point fixe si K = R puis le d´ eterminer.

2. D´ enombrer les points et les droites fixes de ϕ si K = C .

3. Dire pour quels entiers k les points fixes de ϕ ^k sont les mˆ emes que ceux de ϕ.

4. Montrer que ψ poss` ede deux points fixes et deux droites fixes puis les d´ eterminer.

5. Dire pour quels entiers k l’homographie ψ ^k poss` ede une droite de points fixes.

Corrig´ e 4. Notons P A ( X ) = det ( A − X I n ) le polynˆ ome caract´ eristique d’une matrice carr´ ee A de taille n.

1. On a P N ( X ) = − X ³ + 8. La seule valeur propre r´ eelle de N est 2 tandis que ces valeurs propres complexes sont 2, 2ζ et 2 ¯ ζ, o` u ζ = 2 <sup>2πi/3</sup> . Ainsi, N est diagonalisable sur C , les sous espaces propres de N ´ etant de dimension 1, tandis que N poss` ede un seul espace propre r´ eel de dimension 1. Ainsi ϕ poss` ede un seul point fixe, ` a savoir la droite correspondant ` a l’espace propre de la valeur propre 2, ce qui apr` es calcul donne le point ( 1 ∶ − 2 ∶ 0 ) .

2. En vue de l’analyse dans la question pr´ ec´ edente, ϕ poss` ede 3 points fixes, un pour

chaque espace propre de dimension 1 de N . De mˆ eme N ^t poss` ede 3 espaces propres

de dimension 1 donc ϕ poss` ede 3 points fixes. Il s’agit en fait des 3 droites joignant

chacune une paire de points fixes distincts.

3. Les valeurs propres complexes de N ^k sont : { 2 ^k , 2 ^k ζ ^k , 2 ^k ζ ¯ ^k } .

Si k ≡ 1 ou k ≡ 2 modulo 3, alors les valeurs propres de N ^k sont distinctes et les espaces propres de N ^k sont les mˆ eme que ceux de N . Si k ≡ 0 modulo 3, on calcule N ³ = 8 I 3 donc ϕ ^k est l’identit´ e.

4. On voit que 2 est valeur propre de M , d’espace propre E ₂ = vect(v ₁ ), o` u v <sub>1</sub> = ( 0, 1, 1 ) . On calcule ensuite P M ( X ) = −( X − 2 ) <sup>2</sup> ( X + 2 ) . Les espaces propres de M sont E <sub>2</sub> et E −2 = vect ( v <sub>2</sub> ) o` u v ₂ = ( 0, 1, − 1 ) . Soit F = vect ( v ₃ ) o` u v <sub>3</sub> = (− 1 / 2, 1, 1 ) . Alors ( M − 2 I 3 ) v 3 = v 1 , donc pour B = ( v 1 , v 3 , v 2 ) , si f est l’endomorphisme de K <sup>3</sup> associ´ e ` a M en la base canoniquie, on trouve :

Mat B ( f ) =

⎛

⎜

⎝

2 1 0

0 2 0

0 0 − 2

⎞

⎟

⎠ .

On a donc les points fixes [ v 1 ] = ( 0 ∶ 1 ∶ 1 ) et [ v 2 ] = ( 0 ∶ 1 ∶ − 1 ) pour ψ. Les droites fixes se trouvent en prenant la matrice transpos´ ee, et sont V (x ₀ ) correspondant

`

a ker ( M ^t − 2 I 3 ) = vect (( 1, 0, 0 )) et V ( x 1 − x 2 ) correspondant ` a ker ( M ^t + 2 I 3 ) = vect (( 0, 1, − 1 )) .

5. En la base B on a :

Mat _B ( f ^k ) =

⎛

⎜

⎝

2 ^k k2 ^k−1 0

0 2 ^k 0

0 0 (− 2 ) ^k

⎞

⎟

⎠ .

Donc une droite de points fixes apparaˆıt ssi k est pair, et dans ce cas il s’agit de la droite V ( x ₁ ) .

Exercice 5. Soit K un corps et E = K ³ . Si r ∈ N ^∗ , p ≠ 2 est un nombre premier et q = p ^r , nous ´ ecrivons F q pour un corps ` a q ´ el´ ements. Consid´ erons q 1 , q 2 , q 3 ∶ E → K d´ efinies par :

q 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 , q ₂ (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ² ₁ + 5x ₁ x ₂ + 3x ₂ x ₃ , q ₃ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ² ₁ + x ² ₂ − 2x ² ₃ . Dire lesquelles parmi les formes q ₁ , q ₂ , q ₃ sont ´ equivalentes si :

1. K = C , 2. K = R , 3. K = Q ,

4. K = F 3 , puis K = F 5 ,

5. K = F p

avec p premier impair.

Corrig´ e 5. On utilise que, si q, q ^′ sont formes quadratiques non d´ eg´ en´ er´ ees de mˆ eme rang sur un corps fini F q , q ≃ q ^′ ssi le rapport des discriminants de q et q ^′ est un carr´ e de F q .

1. Soit K = C . Apr` es avoir v´ erifi´ e que q 1 , q 2 et q 3 ont toutes rang 3, on peut conclure que ces formes sont ´ equivalentes sur C ³ .

2. Soit K = R . Il suffit de calculer la signature. On a imm´ ediatement que q ₃ a signature ( 2, 1 ) . Pour q 1 on ´ ecrit :

q 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ² − f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ² − f 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ² , o` u : f ₁ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = 1

2 x ₁ + 1

2 x ₂ − x ₃ , f 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1

2 x 1 − 1 2 x 2 , f ₃ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = x ₃ .

Donc q ₁ a signature (1, 2). De mˆ eme on ´ ecrit :

q ₂ (x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x ₁ + (5/2)x ₂ ) ² − (25/4)(x ₂ − 6/25x ₃ ) ² + 9/25x ² ₃ , donc q 2 a signature ( 2, 1 ) . On a donc q 2 ∼ q 3 et q 1 ∼ / q 2 .

3. On a q 1 ∼ / q 2 et q 1 ∼ / q 3 car ces formes ne sont pas ´ equivalentes sur R dont sur Q non plus. Pour voir si q ₂ ∼ q ₃ sur Q on remarque que, par un changement de base ` a coefficients rationnels, comme 25 / 4 et 9 / 25 sont des carr´ es de Q , on peut ´ ecrire q 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = g <sub>1</sub> <sup>2</sup> + g <sub>2</sub> <sup>2</sup> − g <sup>3</sup> <sub>3</sub> o` u g 1 , g 2 , g 3 sont formes lin´ eaires libres sur Q ³ , donc det ( Mat B ( q 2 )) = − 1 dans une base appropri´ ee B de Q ³ . Ensuite, on a det(Mat _B (q ₃ )) = −2 det(P) ² , o` u P est la matrice de passage de la base canonique C

`

a B, car det C ( q 3 ) = − 2. Ainsi on a det ( P ) ² = 2, ce qui est impossible si det ( P ) ∈ Q . Donc q ₂ et q ₃ se sont pas ´ equivalentes sur Q .

4. ´ Ecrivons δ ( q ) = det ( Mat _C ( q )) , pour une forme quadratique q. Soit K = F 3 . On a δ(q ₁ ) = 1, δ(q ₂ ) = 0, δ(q ₃ ) = 1. Ainsi, q ₁ ∼ / q ₂ ∼ / q ₃ car q ₂ est la seule forme d´ eg´ en´ er´ ee.

Par contre, q 1 ∼ q 3 car ces deux formes ont mˆ eme discriminant.

Pour K = F 5 , on a δ ( q ₁ ) = − 1, δ ( q ₂ ) = − 1, δ ( q ₃ ) = − 2. Comme − 1 et − 2 ne s’obtiennet pas l’un de l’autre en multipliant par carr´ e de F ^∗ 5 (donc par 1 ou − 1), on a q 2 ∼ / q 3 . Par contre q 1 ∼ q 2 .

5. En calculant le discriminant sur Z on voit que les trois formes sont non d´ eg´ en´ er´ ees

sur F q d` es lors que p ≠ 3. Soit d _i = δ(q _i ) pour i = 1, 2, 3. Supposons p > 3, de sorte que

d i ≠ 0 pour i = 1, 2, 3. Alors q i ∼ q j ssi d i / d j est un carr´ e de F p

, ssi X ² − d i / d j admet

une racine dans F p

. Mais, comme q _i / q _j appartient ` a F p , le polynˆ ome X ² − d _i / d _j

admet une racine dans F p

, du moment que F p

est isomorphe ` a un quelconque

corps de rupture d’un polynˆ ome irr´ eductible de degr´ e 2 sur F p . Donc les trois

formes sont ´ equivalentes sur F p

. Pour p = 3 le mˆ eme argument dit que q ₁ ∼ q ₃ puis

bien sˆ ur q ₁ ∼ / q ₂ ∼ / q ₃ .