Les points Y,K et Z sont alignés

D172 – Trois bissectrices qui se rencontrent pour un joli problème [***** à la main]

Solution résumée de la solution très complète de Jean-Louis Aymé accessible à l’adresse : http://pagesperso-orange.fr/jl.ayme/Docs/Un remarquable resultat de Vladimir Protassov.pdf.

Lemme 1 : théorème des trois cercles.

Soient trois cercles de centres O₁, O₂ et O concourants au point N. Les cercles 1 et 2 se ₃ coupent par ailleurs en J, les cercles 2 et 3 en K et les cercles 3 et 1 en L. Soit un point X de le circonférence du cercle 1, XJ coupe le cercle 2 en un point Y et XL coupe le cercle 3 en un point Z. Les points Y,K et Z sont alignés. En effet si on désigne par u = angle NJX, comme les quadrilatères NJXL, NJYK et NKZL sont tous trois inscriptibles, on a angle NKZ = angle NLX = 180° - u et angle NKY = 180° - angle NJY = angle NJX = u. Les angles NKY et NKZ sont donc supplémentaires.

Cas particulier : Soit X’ sur la circonférence du cercle 1 tel que X’L est tangent au cercle 3.

X’J coupe le cercle 2 en Y’. Les points Y’, K et L sont alignés.

Lemme 2 : théorème des cinq cercles (ou théorème de Lebesgue)

Les deux cercles 1 et 2 de centres O₁ et O₂ se coupent en X₁ et X₂. Une droite D

quelconque passant par X₁ coupe le cercle 1 en un deuxième point X et le cercle 2 en un ₃ deuxième point X₄. Un cercle 3 de centre O passant par ₃ X₂ coupe le cercle 1 en un point

X et le cercle 2 en un point 5 X . Un cercle 4 de centre ₆ O₄ et passant par les points X et ₃ X ₅ coupe le cercle 3 en un point X et la droite D en un point ₇ X . Les points ₈ X₄,X ,₆ X et ₇ X ₈ sont sur un même cercle de centre O.

Pour la démonstration, se reporter au document de Jean Luis Aymé : http://pagesperso- orange.fr/jl.ayme/Docs/Du theoreme de Reim au theoreme des six cercles.pdf

Ces deux lemmes permettent une démonstration rapide de la propriété des trois bissectrices.

Soit T le point de tangence des cercles de centre O et O’. P et Q sont les points de contact des deux tangentes menées de A au cercle de centre O.Le cercle bleu passant par les points B,T et P et le cercle rouge passant par les points C,T et Q se coupent en un deuxième point I. Les droites BI et CI coupent la droite PQ respectivement en D et E. D’après le lemme 1 (théorème des trois cercles – cas particulier) qui s’applique au cercle de centre O , au cercle bleu et au cercle rouge, les points D, Q et P d’une part et E, P et Q d’autre part sont alignés. Il en résulte que les quatre points D, Q, P et E sont alignés.

Le lemme 2 qui s’applique aux quatre cercles : cercle de centre O, cercle de centre O’, cercle bleu, cercle rouge ainsi qu’à la droite DQPE permet de dire que les points B,C,D et E sont sur un même cercle.

Il en découle : angle CBD = angle CED = angle IEP = angle PBI = angle ABD. La droite BI est bissectrice de l’angle ABC. Il en est de même de la droite CI qui est bissectrice de l’angle ACB.Le point I est donc le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

Par ailleurs angle BTI = angle BEI = angle BEC = angle BCD = angle ICD = angle CTI. La droite TI est la bissectrice de l’angle BTC.