D1862. Points de tangence MB
Soit un triangle scalène ABC. On trace quatre cercles : - le cercle (Γ) de centre O circonscrit à ce triangle, - le cercle inscrit (ω) de centre I,
- le cercle exinscrit (Ω) de centre J dans le secteur de l’angle en A, - le cercle (γ) de diamètre IJ.
Les cercles (ω) et (γ) se coupent en P et Q et leurs tangentes communes se coupent au point R.
Les cercles (Ω) et (γ) se coupent en S et T et leurs tangentes communes se coupent au point U.
Démontrer que les cercles (PQR) et (STU) sont tangents au cercle (Γ) et que les deux points de tangence sont situés sur une droite parallèle à BC.
Dans la figure ci-dessous on a le cercle (γ) de diamètre IJ et le cercle (ω) de centre I.
Soit R' le point de (ω) le plus proche de J, la perpendiculaire en R' à IJ, qui est tangente à (ω), coupe (γ) en deux points symétriques D et E. La tangente en D à (γ) coupe la droite IJ en R.
L'angle EDR intercepte l'arc DE de (ω), l'angle EDI intercepte l'arc IE : la moitié de l'arc DE . Angle EDR = 2 fois Angle EDI.
Les droites DE et DR sont donc symétriques par rapport à la droite DI, donc la droite DR est également tangente à (ω), c'est une tangente commune à (ω) et (γ) .
DE est la polaire de R par rapport à (γ) donc KR.KR' = KI²
Dans l'inversion de pôle K de puissance KI², les points P et Q de (γ) sont invariants, les cercles RPQ et R'PQ s'échangent. [ cercle R'PQ = cercle (ω) ].
Les cercles (RPQ) et (ω) s'échangent, idem pour les cercles (STU) et (Ω).
On sait que le point K milieu de IJ appartient au cercle (Γ), et qu'il est le milieu de l'arc BC qui ne contient pas A. Les cercles (Γ) et (γ) se coupent en B et C qui sont invariants.
L'inverse du cercle (Γ) qui passe par B, K, C est la droite BC.
Les points de contact avec la droite BC des cercles (ω) et (Ω) sont symétriques par rapport à la médiatrice du côté BC, ils sont équidistants du point K qui est aussi sur cette médiatrice.
Leurs images dans l'inversion sont les points de contact avec (Γ) des cercles (PQR) et (STU).
Ces points de contacts sont encore symétriques par rapport à la médiatrice de BC . La droite qui les joint est donc parallèle à BC.
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