Enoncé D1835 (Diophante)
La saga des dichotomies (7ème épisode)
Deux points P et Q sont sur deux côtés d’un triangle ABC tels que le segment [P Q] partage le triangle en deux parties d’aires égales.
Déterminer le lieu du milieu M de [P Q] lorsque P parcourt les côtés du triangle.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note D, E, F les milieux des côtés [BC],[CA],[AB] et U, V, W les milieux des segments [AD],[BE],[CF]. Je travaille en coordon- nées barycentriques de baseA, B, C.
Supposons d’abordP sur [AB] et Qsur [BC] ; la condition d’aire donne BP.BQ = BA.BC/2, donc BQ < BC entraîne BP >
BA/2 = BF, P est sur [AF], et de même Q sur [DC]. D’où les coordonnées P(x,1−x,0) et comme (BP/BA)(BQ/BC) = 1/2, Q
0,1− 1 2x, 1
2x
, puisM
x
2,1−x 2 − 1
4x, 1 4x
.
Notant (u, v, w) les coordonnées homogènes d’un point courant, le lieu deM pour cette configuration vérifie (u+v+w)2−8wu= 0.
C’est l’équation d’une hyperbole, asymptote aux droites (BA) et (BC). L’arc parcouru par M est l’arc U W. Selon une propriété bien connue de l’hyperbole, la tangente enM est la droite (P Q) ; ainsi l’arc U W de cette hyperbole est tangent à (AD) en U et à (CF) enW.
Les configurations P sur [BF] et Q sur [CE] d’une part ; P sur [BD] et Q sur [AE] d’autre part ; conduisent à des conclusions analogues pour les arcsV W etU V. Le lieu de M est un triangle curviligneU V W formé de trois arcs d’hyperbole, avec rebrousse- ment en chacun des pointsU, V, W.
Les propriétés de rapport d’aires ou de rapport de segments sur une même droite se conservent par projection d’un plan à un autre.
La projection qui transforme un triangle donné ABC en un tri- angle équilatéral A0B0C01 transforme de même le triangle curvi- ligneU V W en le lieu homologue du triangle équilatéral.
1. Voir par exemple le problème D10004.