Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales.Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ
Lorsque P est en A (resp. B ou C), Q est au sommet opposé D (resp. E ou F) du triangle de contact du cercle inscrit dans ABC. Si a, b, c sont les longueurs de BC, CA, AB, et 2p=a+b+c, BD=p-c, CD=p-b, CE=p-a, AE=p-c, AF=p-b, BF=p-a.
Si, par exemple, P est situé sur AB (entre B et F) et Q sur AC (entre C et E), les
projections de M sur AB parallèlement à AC (M’) et sur AC parallèlement à AB (M’’) sont telles que AM’+AM’’=p/2, donc reste constant. Il en serait de même pour les autres positions possibles pour P et Q.
Donc si J est le milieu de AD, K le milieu de BE, et L le milieu de CF, le lieu de M est le triangle JKL.