D1835. La saga des dichotomies (7ième épisode) ***
Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer
Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.
Déterminer le lieu du milieu M de [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons α, β, , les milieux des médianes AA’, BB’, CC’, qui sont sur le lieu
L’aire APQ est égale à l’aire ACC’. On a donc AP. AQ = AC.AC’. En reportant AP et AC’ en AP2 et AC’2 sur l’autre côté du triangle, le cercle passant par C C’2 P2 recoupera le segment AB en Q.
Quand P va de C à B’, Q va de C’ à B et le milieu M de PG va de à β.
Quand P va de C’ à B, Q va de C à B’ et le milieu M de PG va de à β. Puisque les points P et Q jouent le même rôle, le lieu sera donc parcouru deux fois. Il sera parcouru une fois en faisant varier P sur CA et AC’ et le point M parcourra de à β, β à α, et α à
Déterminons le lieu de à β, P étant entre C et B’
Coordonnées de A{0 , 0}, B{c, 0}, angle BAC=δ, C{b cos δ , b sin δ }, C’{c/2, 0}, C’2{c/2 cos δ, c/2 sin δ}, P{p cos δ, p sin δ}
AP.AQ= QB.QC donne Q {ac/2p, 0} et M { x= ac/4p+ ½ p cos δ, y=½ p sin δ}
Eliminant p dans les coordonnées de M p=2y/sin δ et
x=(2y/sin δ )( ½ cos δ) +ac sin δ /8y + y/tg δ =2y cotg δ + ac/8.sin δ /y La courbe de à β est un arc d’hyperbole, d’asymptotes les côtés AB et AC
On a des arcs similaires de β à α et de α à Ces arcs sont parcourus deux fois quand P fait le tour du triangle ABC
