D1834. La saga des dichotomies (6eépisode) ****
Soient un triangle ABC et deux pointsP etQ situés sur deux côtés du triangle tels quePQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales. QuandP parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieuMdu segmentPQ.
Solution de Claude Felloneau
SoitA1,B1etC1les points situés sur les côtés du triangleABCtels que chacune des droites (A A1), (B B1) et (CC1) partage le périmètre du triangleABCen deux parties égales. On désigne respectivement parA2, B2etC2les milieux des segments [A A1], [B B1] et [CC1].
Le lieu du point du milieuMde [PQ] est le périmètre du triangleA2B2C2.
A B
C
c b a
C1 A1 B1
P
Q
M A2
C2
B2
On posea=BC,b=C Aetc=AB. On aB A1=a+b−c
2 ,C B1=b+c−a
2 etAC1=c+a−b
2 .
On suppose quePappartient au segment [AC1]. LorsqueP parcourt le segment [AC1],Qparcourt le seg- ment [A1C].
Dans le repère³
A,−→AB,−→AC´
, on notet,c1eta1les abscisses respectives des pointsP,C1, A1. On a alors P(0,t),C1(c1, 0),A1(a1, 1−a1).
AP=t cdoncQest le point de [A1C] tel queA1Q=t c. Les coordonnées deQsont donc µ
a1−t c
a , 1−a1+t c a
¶
et le milieuMde [PQ] a pour coordonnées
µa1+t(1−c/a)
2 ,1−a1+t c/a 2
¶ .
Il est clair que l’abscisseXMdeMest une fonction affine detet que, par élimination det, l’ordonnéeYM
deMest une fonction affine deXM.
Donc lorsquePdécrit [AC1],Mdécrit le segment d’extrémitésA2etC2, positions deMlorsqueP=Aou P=C1.
De même, lorsqueP décrit respectivement les segments [C1B], [B A1], [A1C], [C B1], [B1A],M décrit les segments [C2B2], [B2A2], [A2C2], [C2B2], [B2A2], [A2C2].
Le lieu du point est donc le périmètre du triangleA2B2C2.
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