Découpage d'un triangle en deux coups de ciseaux

(1)

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Casse-tête de mai 2014

Vinent PANTALONI

17 juin2014

Enoncé :Pour résoudre le casse-tête de juin, vous prenez une paire de ciseaux avec laquelle en deux coups, vous partagez un triangle de surface unité en quatre morceaux constitués de trois triangles et d’un quadrilatère comme l’indique la figure ci-contre. Trois morceaux ont même surfaces. Déterminezs. b

A

bB

bC

b

B^′

bA^′

b

I

Solution :. . . . Il y a quatre cas à étudier selon lesquelles des trois surfaces ont pour aires.

J’ai hachuré la surface qui ne vaut pass. Les deux derniers cas sont identiques.

Voici mes réponses dont les preuves suivront :

b

A

bB

bC

b

B^′

bA^′

b

I

b

A

bB

bC

b

B^′

bA^′

b

I

b

A

bB

bC

b

B^′

bA^′

b

I

b

A

bB

bC

b

B^′

bA^′

b

I

1. Impossible 2. s= 1

6 3. s= −1 +√

5 4

1. Il est impossible que les trois triangles aient la même aire. En effet, pour avoir jaune et vert égaux il faut que I soit le milieu de [AA^′] et pour avoir jaune et bleu égaux il faut queI soit le milieu de [BB^′]. Dans ce cas les diagonales du quadrilatère ABA^′B^′ se couperaient en leur milieu et doncABA^′B^′ serait un parallélogramme, ce qui est impossible.

2. On procède par analyse/synthèse.

Analyse. Supposons que le découpage soit possible avec les deux triangles bleu et vert ainsi que le quadrilatère d’aires. Alors bleu & rouge d’une part et vert & rouge d’autre part forment deux triangles de même aire 2s. Le quotient de leur aire et de l’aire de ABC qui vaut 1 est donc identique, valant2s. Ce quotient est égal au rapport des bases des triangles qui ont même hauteur. On a donc :

B^′C

AC =A^′C

BC = 2s (1)

La réciproque du théorème de Thalès nous assure alors que [A^′B^′] et [AB] sont parallèles et dans le même rapport 2s. Ainsi les triangles IAB etIA^′B^′ sont semblables avec un rapport de similitude de 2s. Le centre de l’homothétie qui transforme IAB en IA^′B^′ étantI. Ainsi pour les aires de ces triangles on a :

A(IA^′B^′) = (2s)²A(IAB) = 4s²(1−3s) (2)

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(2)

Or on a aussi ABC qui est semblable àA^′B^′C en vertue de (1) avec le même rapport2s. Ici le centre de l’homothétie estC. Donc :

A(A^′B^′C) = (2s)²A(ABC) = 4s² (3) Comme l’aire du quadrilatère rouge ests, on as=A(A^′B^′C) +A(IA^′B^′). En combinant (2) et (3) cette dernière égalité nous donne l’équation ens:

s= 4s²+ 4s²(1−3s)

En simplifiant parsnon nul, puis développant, cette équation est équivalente à : 3s²−2s+1

4 = 0 (4)

Cette équation du second degré a un discriminant de 1 et deux racines ¹₂ et ¹₆. Comme 3s61 la seule possibilité ests= ¹₆. Ce qui signifie queA^′ et B^′ se trouvent au tiers de[BC] et [AC]

respectivement.

Synthèse. Il reste à faire la synthèse c’est à dire de vérifier que cette configuration est bien possible. On peut reprendre les équations mais je préfère donner une construction : On placeA^′ et B^′ au tiers de[BC]et[AC]comme sur la figure suivante :

b

A

bB

bC

b

B^′

bA^′

b

I

b

J

b

b b

On sait qu’une fois cette construction faite les aires vertes et bleues sont égales et valent 1/3 moins l’aire rouge. Il reste à vérifier que l’aire rouge vaut1/6. Je vais plutôt prouver que l’aire de AIB est 1/2 en prouvant que I est le milieu de la médiane CJ issue deC dansABC. Par construction on a les barycentres suivants :

A^′=Bar{(C; 2); (B; 1)} B^′ =Bar{(C; 2); (A; 1)}

PosonsI^′ =Bar{(C; 2); (A; 1); (B; 1)}. D’abord je prouve queI^′ =I. En effet par le théorème d’associativité on a d’une part :

I^′=Bar{(B^′; 3); (B; 1)}et doncI^′∈[BB^′], (on peut même préciser au quart partant deB^′) et d’autre part :

I^′=Bar{(A^′; 3); (A; 1)} et doncI^′∈[AA^′]. AinsiI^′= [AA^′]∩[BB^′] =I.

Par ailleurs en nommant J le milieu de[AB]on a J =Bar{(A; 1); (B; 1)} et donc : I=Bar{(C; 2); (J; 2)}c’est à dire que Iest le milieu de la médiane [CJ].

Il en découle que les triangles ABC et ABI ont le côté [AB] en commun et que la hauteur relative à ce côté est deux fois plus petite dans ABIque dansABC. Cela se voit aisément avec le théorème de la droite des milieux. Ainsi AIB a une aire de1/2. Notonsxl’aire rouge, on a alors le découpage suivant du triangleABC :

(bleu&rouge)+(vert&rouge)+blanc−rouge=A(ABC).

Ce qui donne : ¹₃+¹₃+¹₂−x= 1. Soit : x= 1

3+1 3 +1

2 −1 = 2 + 2 + 3−6

6 =1

6

Conclusion. On peut avoir les aires bleue, verte et rouge égales mais il n’y a qu’une construction possible et dans ce cas ces aires valent chacune 1/6.

(3)

3. Les deux derniers cas sont symétriques, je traite celui-ci où les aires jaune, bleu et rouge sont égales.

b

A

bB

bC

b

B^′

b

A^′

b

I

b b

J

bO

Analyse. Supposons que le découpage soit possible avec les deux triangles bleu et jaune ainsi que le quadrilatère d’aire s. Pour que jaune et bleu soit égales il faut que I soit au milieu de [BB^′]. Supposons donc celà ainsi. Je trace alors la droite des milieux passant parI et parallèle à (AC), elle coupe[AB]et [BC]en leurs milieux respectifs nommésJ etO sur la figure.

A(BOJ) = ¹₄ etA(BIJ) = ^s₂ (moitié du jaune) doncA(BOI) =¹₄−^s2. Ainsi on a les rapports suivants :

A(BOI) A(BOJ)= OI

OJ =

1 4−^s2

1 4

= 1−2s

Or OJ= ¹₂ACdonc : OI AC =1

2 −s. Notonsk= ¹₂−sce rapport de similitude pour passer de A^′AC àA^′IO. On a donc aussi _AÂ_′^′_AÎ =k. On en déduit Â_{I A}^′Î :

A^′I

A^′A =k ⇐⇒ A^′I

A^′I+IA=k ⇐⇒ 1 + IA A^′I = 1

k ⇐⇒ A^′I IA = 1

1

k −1 = k 1−k Ainsi A^′I

IA = k 1−k =

1 2−s

1−(¹₂−s) = 1−2s

1 + 2s. En considérant les trianglesBIAetBIA^′ avec les côtésIAetIA^′ comme bases pour calculer leur aire on a :

A(BIA^′) A(BIA) = A^′I

IA =1−2s 1 + 2s

Or A(BIA^′) = 1−3set A(BIA) =s. On a donc l’équation suivante d’inconnues: 1−3s

s = 1−2s

1 + 2s (5)

Ce qui équivaut à(1−3s)(1+2s) =s(1−2s)ou encore 4s²+ 2s−1 = 0 qui a pour discriminant 20 et deux racines réelles dont une seule est positive :

s= −1 +√ 5 4

Synthèse. Réciproquement, si on fait varier B^′ le long de [AC] et qu’on trace [AI) avec I milieu de [BB^′], à un moment l’aire bleue vaudra s = ⁻¹⁺₄^√⁵ ≈ 0,31. L’aire jaune aussi par construction. Or cette valeur de s vérifie (5) donc on a A(BIA^′) = 1−3s et par conséquent l’aire du quadrilatère rouge vaut aussi s.