D1835. La saga des dichotomies (7ième épisode)
Problème proposé par Thérèse Eveilleau et Pierre Renfer
Deux points P et Q sont sur deux côtés d'un triangle ABC tels que le segment [PQ] partage le triangle en deux parties d'aires égales.
Déterminer le lieu du milieu M de [PQ] lorsque P parcourt les côtés du triangle.
Solution proposée par Maurice Bauval :
Soit P sur CB et Q sur CA ,si la surface du triangle CPQ est moitié de la surface du triangle CAB on a CP.CQ = CA.CB /2 = b.c/2.
Dans le repère (C,CA,CB) les coordonnées de Q et P étant (x,0) et (0,y) avec x.y = ½,
celles du milieu M de PQ sont (x',y') avec x' = x/2 et y' = y/2 de sorte que x'.y' = 1/8 et M décrit un arc d'hyperbole de centre C et dont les asymptotes sont les droites CA et CB.
Les extrémités de cet arc sont les milieux des médianes issues de A et de B.
Le lieu de M est la réunion de trois arcs d'hyperbole :
Chaque milieu de médiane est tangente commune à deux arcs d'hyperbole.
