D1834. La saga des dichotomies (6ème épisode) ****
Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales.
Quand P parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieu M du segment PQ.
Solution proposée par Pierre Renfer
On note a, b, c les longeurs des côtés BC, CA, AB et p le demi périmètre 2
c b a
. Soit M le milieu de [PQ].
1) Positions particulières de M
Soit U le point de contact avec (BC) du cercle exinscrit du triangle ABC face au sommet A.
Soit V le point de contact avec (CA) du cercle exinscrit du triangle ABC face au sommet B.
Soit W le point de contact avec (AB) du cercle exinscrit du triangle ABC face au sommet C.
Soient I, J, K les milieux respectifs de [AU], [BV], [CW]
On connaît les distances suivantes :
b p WA
a p VC
c p UB
a p WB
c p VA
b p UC
.
Donc si P occupe les positions A, B, C, alors Q occupe respectivement les positions U, V, W.et le milieu M occupe respectivement les positions I, J, K.
Et si P occupe les positions U, V, W, alors Q occupe respectivement les positions A, B, C et le milieu M occupe respectivement les positions I, J, K.
2) Lieu de M
Lorsque P se déplace de A à W, alors Q se déplace de U à C.
Soient x la distance AP et y la distance CQ.
Les coordonnées barycentriques de P et Q dans le repère affine (A, B, C) sont alors :
0 x
x c P
y a y 0 Q
Pour obtenir celles de M, on additionne celles de Pet Q, de même somme ac :
0 ax
ax ac P
cy ac cy 0 Q
ac cy
cy ax
ax ac M
La relation entre x et y est : xybp ou xypb
Les coordonnées de M sont des polynômes du premier degré par rapport à la variable x et donc le point M se déplace sur une droite.
Donc lorsque le point P se déplace de A à W, le point M décrit le segment de droite [IK].
En raisonnant de façon analogue pour les autre segments décrits par P, on obtient que lorsque le point P décrit le périmètre ABC, le point M décrit deux fois le triangle IKJ.
