• Aucun résultat trouvé

Enoncé D1834 (Diophante) La saga des dichotomies (6ème épisode) Soient un triangle

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Enoncé D1834 (Diophante) La saga des dichotomies (6ème épisode) Soient un triangle"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Enoncé D1834 (Diophante)

La saga des dichotomies (6ème épisode)

Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels queP Q partage le périmètre du triangle en deux parties égales. QuandP parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieuM du segmentP Q.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je note les longueurs des côtés a = BC, b = CA, c = AB, et p le demi-périmètre. Soient D, E, F les points de contact avec BC, CA, AB respectivement des cercles exinscrits dans les angles A, B, C respectivement. On a AF =pb, F B =pa,

BD=pc, DC =pb, CE =pa, EA=pc.

Supposons P sur AF; il est barycentre deA etF avec des poids x et 1−x; Q est alors sur DC, barycentre de D et C avec les mêmes poids, car AF =DC =pb et

DQ = pP FF BBD = p−(AF −AP)−F BBD = p−(p−b) +AP −(p−a)−(p−c) =AP.

SoientU, V, W les milieux des segmentsAD, BE, CF. Prenant une origineO quelconque dans le plan, on a vectoriellement

2OM =OP +OQ

=xOA+ (1−x)OF +xOD+ (1−x)OC

= 2xOU + 2(1−x)OW

Cette relation montre queM parcourt le segment de droite U W quandP parcourtAF,x parcourant l’intervalle (0,1).

De même, pour les autres segments parcourus par P, Q, M, on a le tableau de correspondance :

P AF F B BD DC CE EA Q DC CE EA AF F B BD M U W W V V U U W W V V U

Le lieu demandé est le périmètre du triangleU V W, parcouru deux fois quandP parcourt tout le périmètre du triangleABC.

Références

Documents relatifs

Soit le triangle ABC, avec des côtés AB, AC, BC de longueur c,b,a, de périmètre a+b+c égal à 2p., p étant supérieur à la longueur de chacun des côtés a,b,c.. D’un point de

Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales.Quand P parcourt les trois côtés

Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le périmètre du triangle en deux parties égales. Quand P parcourt les trois

Deux points P et Q sont sur deux côtés d’un triangle ABC tels que le segment [P Q] partage le triangle en deux parties d’aires égales. Déterminer le lieu du milieu M de [P Q]

Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels que PQ partage le triangle en deux parties d’aires égales.. Quand P parcourt les trois côtés

Cette conique circonscrite au triangle a les mêmes points à l’infini (caractérisés par x 2 = yz) que l’ellipse de Steiner ; c’est l’ellipse homothétique de l’ellipse de

Enoncé D1862 (Diophante) Points de tangence. Soit un triangle

Le côté AC du triangle ne joue aucun rôle, la seule fonction du point C étant de donner à [BC] une