Enoncé D1834 (Diophante) La saga des dichotomies (6ème épisode) Soient un triangle

Enoncé D1834 (Diophante)

La saga des dichotomies (6ème épisode)

Soient un triangle ABC et deux points P et Q situés sur deux côtés du triangle tels queP Q partage le périmètre du triangle en deux parties égales. QuandP parcourt les trois côtés du triangle, déterminer le lieu du milieuM du segmentP Q.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Je note les longueurs des côtés a = BC, b = CA, c = AB, et p le demi-périmètre. Soient D, E, F les points de contact avec BC, CA, AB respectivement des cercles exinscrits dans les angles A, B, C respectivement. On a AF =p−b, F B =p−a,

BD=p−c, DC =p−b, CE =p−a, EA=p−c.

Supposons P sur AF; il est barycentre deA etF avec des poids x et 1−x; Q est alors sur DC, barycentre de D et C avec les mêmes poids, car AF =DC =p−b et

DQ = p−P F −F B −BD = p−(AF −AP)−F B −BD = p−(p−b) +AP −(p−a)−(p−c) =AP.

SoientU, V, W les milieux des segmentsAD, BE, CF. Prenant une origineO quelconque dans le plan, on a vectoriellement

2OM =OP +OQ

=xOA+ (1−x)OF +xOD+ (1−x)OC

= 2xOU + 2(1−x)OW

Cette relation montre queM parcourt le segment de droite U W quandP parcourtAF,x parcourant l’intervalle (0,1).

De même, pour les autres segments parcourus par P, Q, M, on a le tableau de correspondance :

P AF F B BD DC CE EA Q DC CE EA AF F B BD M U W W V V U U W W V V U

Le lieu demandé est le périmètre du triangleU V W, parcouru deux fois quandP parcourt tout le périmètre du triangleABC.