D162. Un prix de beauté dans un triangle acutangle
Soit ABC un triangle acutangle dont l'angle au sommet C est le plus petit des trois angles. Soient O et I les centres des cercles circonscrit et inscrit. Sur AC et BC, on porte respectivement les points P et Q tels que AP = BQ = AB.
1ère partie : Démontrer que les droites IO et PQ sont perpendiculaires.
2ème partie : L'angle en C vaut 30°. Démontrer que IO = PQ et que O est l'orthocentre du triangle IPQ.
Solution proposée par Pierre Gineste
Dans le texte qui suit les couples de lettres représentent des vecteurs.
Appelons J et K les projections de I sur CA et sur CB.
Appelons S et T les projections de O sur CA et CB.
En utilisant les rayons des cercles tritangents du triangle (cercles de centres A, B, C tangents extérieurement 2 à 2. Soit AB=c=R1+R2 BC=a=R2+R3 CA=b=R3+R1.
Le cercle inscrit est tangent aux côtés aux points de tangence des cercles tritangents J et K sur AC et BC.
1/ Si IO et PQ sont perpendiculaires, leur produit scalaire doit être nul.
X = IO * PQ = IO * (CQ – CP) = KT*CQ – JS*CP On a CP = R3 - R2 CQ = R3 - R1
JS = (R3 - R1)/2 KT = (R3 - R2)/2
==> X = 0 CQFD ==> IO ┴ PQ
2/ Egalités dans le triangle CPQ: PQ/sin(30°) = 2PQ = CQ/sin(p) = CP/sin(q)
Dans le quadrilatère IJQN (N étant l'intersection de IO et CP, la somme des angles est 2 .. Donc sin(q) = KT / IO = CP / 2PQ
==> IO / PQ = 2KT / CP = 1 CQFD ==> IO = PQ
