Enonc´e noD162 (Diophante)
Un prix de beaut´e dans un triangle acutangle
Soit ABC un triangle acutangle dont l’angle au sommet C est le plus petit des trois angles. SoientO etI les centres des cercles circonscrit et inscrit. Sur AC etBC, on porte respectivement les points P etQ tels queAP =BQ=AB.
1`ere partie : D´emontrer que les droitesIOetP Qsont perpendiculaires.
2`eme partie : L’angle en C vaut 30◦. D´emontrer que IO =P Qet que O est l’orthocentre du triangle IP Q.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Notations.
BC = a, CA= b,AB =c cˆot´es du triangle ; r rayon du cercle incrit, R rayon du cercle circonscrit ;
A0, B0, C0 milieux deBC, CA, AB;
D, E, F projections deI surBC, CA, AB.
1) On a les relations m´etriques
CD=CE = (a+b−c)/2 ; CP =b−c;CQ=a−c;
EP = (a+c−b)/2, DQ = (b+c−a)/2, d’o`u par Pythagore, avec IE=r=ID,
IP2−IQ2=EP2−DQ2 =c(a−b).
OA02 =R2−a2/4, OB02 =R2−b2/4, P B0 =c−b/2, QA0 =c−a/2, d’o`u
OP2−OQ2 =OA02−OB02+P B02−QA02 =c(a−b).
L’´egalit´e IP2−IQ2 =OP2−OQ2 montre que I etO ont mˆeme pro- jection surP Q, doncIO est orthogonal `a P Q, CQFD.
2) Avec sinC = 1/2 et cosC = √
3/2, on a c = R et les relations d’Al-Kashi
c2=a2+b2−ab√ 3,
P Q2 = (b−c)2+ (a−c)2−(b−c)(a−c)√
3 =c2−c(a+b−c)(2−√ 3).
En outre, on a la relation classique OI2 = R2 −2Rr soit ici, avec tan(C/2) = 2−√
3,
OI2 =c2−2c·ID=c2−2c·CD·tan(C/2) =c2−c(a+b−c)(2−√ 3) = P Q2.
DoncOI =P Q, CQFD.
La propri´et´eOorthocentre du triangleIP Qest v´erifi´ee d`es queOP est orthogonal `a IQ, soit
IP2−OI2 =P Q2−OQ2, ouIP2+OQ2 =OI2+P Q2, soit ici = 2P Q2. D’autre part, on tire de la question 1
IP2 =r2+ (c+a−b)2/4 =r2+ (a+b−c)2+c(a−b), OQ2=R2−a2/4 + (c−a/2)2 =R2+c2−ac,
IP2+OQ2 =r2+R2+c2+ (a+b−c)2/4−ab,
expression sym´etrique en aetb conform´ement `a la question 1.
Dans le cas de la pr´esente question, R2 =c2,
Comme r = ID = CD ·cot(C/2) = (a+b−c)(2 +√
3)/2, a+b = c+ 2r(2 +√
3) et
IP2+OQ2 =IQ2+OP2 = 2c2+r2(8 + 4√
3)−ab.
Le triangleABC a pour aire
(absinC)/2 =ab/4 =r(a+b+c)/2 =r(a+b−c)/2+cr=r2(2+√ 3)+cr.
On en tire
IP2+OQ2 =IQ2+OP2 = 2c2−4cr = 2R2−4Rr= 2OI2, CQFD.
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