D1813 UN ENCADREMENT
Soit un triangle ABC acutangle. Les points A',B' et C' sont les symétriques des sommets A,B et C par rapport aux côtés BC,CA et AB. On désigne par S l'aire du triangle ABC et S' celle du triangle A'B'C'.
Trouver la plus grande borne inférieure a et la plus petite borne supérieure b du rapport S'/S.
Sur cette figure, le triangle A'B'C' est hachuré en vert, l'hexagone AB'CA'BC'A, de surface 4S,est formé par la réunion du triangle ABC et des symétriques de ce triangle par rapport à ses trois côtés.
Pour passer de 4S à S', on doit ajouter ou retrancher suivant les cas les surfaces des triangles B'CA', A'BC', C'AB' : Ces surfaces sont 1/2*ab |sin 3C|, 1/2*ca |sin 3B|, 1/2*bc |sin 3A|.
Il convient de retrancher si sin(3θ) est positif, c'est à dire si l'angle θ est inférieur à 60° , et d'ajouter si sin(3θ) est négatif si θ est supérieur à 60°.
De sorte que la formule suivante vaut dans tous les cas de figure : S' = 4S – 1/2( ab sin 3C + ca sin 3B + bc sin 3A).
On sait que sin 3x = 3sin x – 4 sin3x, et que ab sin C = ca sin B = bc sin A = 2S, d'où : S' = 4S – S( 3 – 4sin²C + 3 – 4sin²B + 3 – 4sin²A )
S'/S = 4 – (9 – 4(sin²A + sin²B + sin²C) ) = 4(sin²A + sin²B + sin²C) – 5
On peut démontrer, pour un triangle acutangle, que sin²A + sin²B + sin²C peut parcourir l'intervalle ]2, 9/4]
Les bornes pour S'/S sont donc 3 et 4.
Annexe :
sin²A + sin²B = 1 – cos(A+B) cos(A – B) = 1 + cos C cos (A – B) Soit F = sin²A + sin²B + sin²C = 2 + cos C cos (A – B) – cos² C
Si C est constant, cos (A – B) parcourt ]cos C , 1] , F parcourt ]2 + cos² C , 2 + cos C – cos² C ] Le minimum de 2 + cos² C est 2. Il ne peut être qu'approché avec C voisin de 90°
Effectivement dans un triangle rectangle ABC, sin²A + sin²B + sin²C = 2 . Le maximum du trinôme 2 + u – u² est obtenu pour u = ½ il vaut 2 + ¼ = 9/4 Dans le triangle ABC on a alors C= 60° et A=B donc le triangle est équilatéral.
