E334 – Les triangles impossibles [*** à la main]
Après avoir choisi un point M à l’intérieur du côté BC d’un triangle équilatéral ABC et tracé la projection du point B en O sur la demi-droite AM, Zig s’adresse à Puce en ces termes:
« Le rapport r₁ de la plus grande distance à la plus petite distance qui séparent M des deux points B et C ainsi que le rapport r₂ = aire du triangle ABC / aire du triangle BOC sont deux entiers. Je te donne la seule valeur de r₂. Quelle est la valeur de r₁ ? »
Puce (après quelques minutes de réflexion) : « Je ne sais pas répondre »
Zig : « Tu as raison. Sache que le rapport r₃ = aire du triangle MAB/ aire du triangle MOC est encore un nombre entier »
Puce : « Maintenant, je sais répondre ».
Déterminer le rapport r₄ = aire du triangle MAC / aire du triangle MOB.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
On trace sur BC le point M tel que BM = x et MC = x d’où le rapport y/x = r₁
On trace aussi la hauteur AK issue de A (du triangle ABC) ainsi que la hauteur OH issue de O (du triangle OBC)
Les triangles ABC et OBC ont même base BC On en déduit : aire ABC/aire BOC = AK/OH = r₂
L'aire du triangle AMB : A (MAB) = AK x MB/2 = AK . x/2 et celle du triangle OMC:
A(OMC) = OH x MC/2 = OH . y/2
Ainsi : A(MAB)/A(OMC) = r₂ / r₁. On en conclut : r₂ = r₁ . r₃ .Ces 3 valeurs sont des entiers . Le point M se déplaçant sur le segment BK , de K vers B le rapport r₁ = y/x est croissant et varie de 1 à l'infini .
Le rapport r₂ varie de +∞ à + ∞ après être passé par un minimum lorsque le point O est au plus bas sur la cercle de diamètre AB, alors : r2 passe par un minimum 12.9282...
Lorsque r₂ est au minimum , le rapport r₁ est proche de 2.72
Une remarque : r₂ est entier et non premier par conséquent il peut prendre au minimum la valeur 14
Tant que Puce n'a pas l'information avec le rapport r₃,il a au moins 2 solutions à proposer : - une avec r₂ premier donc non multiple de r₁ différent de 1
- une avec r₂ pair et multiple de r₁
- au moins une troisième avec r₂ pair et non multiple de r1
Pour la suite j'appellerai n le rapport r₁ , β l'angle MAK et a le côté du triangle ABC La hauteur AK = (a√3) / 2 et après un peu de calcul on en conclut:
On obtient au final :
(1) et
(2)
Avec r₃ rationnel il y a les couples (r₂ , r₁) solutions (13 , 3) , (14 , 4) , (19 , 7) Avec r₃ entier naturel il n'y a qu'une solution (r₂ , r₁) : (14 , 2) et r₃ = 7
Il n'y a pas de solution avec r₃ = 6 , 5 , 4 , 3 , et ce rapport , en regardant l'expression (2) tend vers 2+ lorsque r1 = n tend vers l'infini.
Et finalement la solution est donnée par le rapport r₄ = A(MAC) / A(MOB) = r₁ . r₂ = r₁² . r₃
= 28.
