D170 – Le triangle de Sierpinski Solution proposée par François Bulot
Aire du triangle PQR = 1/2 * hauteur du triangle PQR * QR.
=Aire du triangle PQA + Aire du triangle PRA + Aire du triangle QRA
=1/2*AK*PQ + 1/2*AJ*PR + 1/2*AI*QR
=1/2 * (AI+AJ+AK)*QR
Donc quel que soit A à l'intérieur du triangle, AI+AJ+AK est constant et vaut la hauteur du triangle PQR.
A l'étape N, chaque triangle gris est remplacé par un triangle gris troué, soit 3 triangles gris et un triangle blanc tous de même aire, soit 1/4 du triangle initial et de périmètre la moitié du triangle gris initial.
Nombre de triangles gris : Tn=3^n, car T0=1
Nombre de triangles blancs : somme de 0 à n-1 des 3^k, soit (-1+3^n)/2 Périmètre de Tn : 3/2*T(n-1), donc (3/2)^n* périmètre de T0
Surface de Tn : (3/4)^n * surface de T0
Si on fait une transformation par homothétie du triangle T0 vers le triangle de T1 proche de P, l'homothétie s'écrit :
p'=1/2+1/2*p ; q'=1/2*q ; r'=1/2*r
Dans les trois cas, l'une des valeurs est supérieure à 1/2 et les autres sont inférieures à 1/2.
Dans l'écriture en binaire de p,q et r, l'un d'entre eux a 1 comme premier chiffre après la virgule ; les autres ont 0.
Si on appelle pn, qn et rn les n-ième chiffres derrière la virgule en binaire des coordonnées de A, alors, chacun des trois vaut soit 0, soit 1 (on est en binaire après tout) et pn+qn+rn=1.
On est capable de faire l'addition : p+q+r=0.1111111111111111111111111111111, etc. sans retenue, cette valeur étant égale à 1.
