Le triangle de Sierpinski
Coordonnées triangulaires
Etant donné un triangle équilatéral PQR, un point A se projette en I, J, K sur les côtés QR,RP et PQ. La somme des trois longueur AI + AJ + AK est égale à la longueur de la hauteur du triangle PQR (s’en convaincre).
Q
P
R
K J
I A
Prenons la hauteur du triangle PQR pour unité de longueur et notons AI = p, AJ = q et AK = r, alors p + q + r = 1. Ces trois nombres forment le triplet (p ; q ; r) et sont appelés coordonnées triangulaires du point A.
Les points P, Q, R ont respectivement pour coordonnées (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0) et (0 ; 0 ; 1). Le point A, ci-dessus, a pour coordonnées (0,5 ; 0,3 ; 0,2).
Le triangle de Sierpinski
T = T
0
T
1Appelons intérieur d’un triangle équilatéral T la partie intérieure du triangle qui a pour sommets les milieux des trois côtés de T.
Partant d’un triangle équilatéral grisé T, à chaque étape, on retire l’intérieur de chaque triangle équilatéral restant. On obtient ainsi une suite de figures T = T0, T1, T2, T3, … , Tn, Tn+1, …
T
2
T
3On appelle Triangle de Sierpinski, l’intersection TS de tous les Ti.
De manière imagée, nous dirons que TS est l’ensemble des points qui restent gris tout le long des étapes de réduction.
Questions
Déterminer pour chaque valeur de n :
- le nombre de triangles gris dans Tn ; - le nombre de triangles blancs dans Tn ;
- le périmètre de Tn, en fonction du périmètre p de T ; - la surface de Tn, en fonction de la surface s de T.
Déterminer, pour un point de coordonnées (p ; q ; r), où p + q + r = 1, à quelle condition il appartient au triangle TS de Sierpinski.
Solution
A chaque étape, les triangles grisés sont deux fois moindres (en taille), mais trois fois plus nombreux.
- le nombre de triangles gris dans Tn est donc 3n.
En ce qui concerne les trous (triangles blancs), il y en a 1 dans T1, 3 de plus dans T2, 9 de plus dans T3, … , 3n-1 de plus dans Tn. En tout tn = 1 + 3 + 32 + … +3 n-1.
- le nombre de triangles blancs dans Tn est donc (3n – 1) / 2.
A chaque étape, le périmètre global est divisé par 2 et multiplié par 3.
- le périmètre de Tn vaut donc (3/2)n p. Il tend vers l’infini avec n.
A chaque étape, l’aire globale est divisée par 4 et multipliée par 3.
- la surface de Tn, vaut donc (3/4)n s. Elle tend vers zéro lorsque n tend vers l’infini.
Le triangle de Sierpinski est l’ensemble TS de ce qui est commun à tous les Tn. On dit que c’est l’intersection des Tn, qui sont tous emboîtés les uns dans les autres.
Les sommets de T font partie de TS ainsi que les milieux des côtés. Pour caractériser tous les éléments de TS, désignons un point de T par ses coordonnées triangulaires exprimées en base 2, puisque les longueurs sont divisées par 2, à chaque étape.
A la première étape, on retire tous les points (b ; r ; v) tels que b < 1/2, r < 1/2 et v < 1/2. Ainsi on retire tous les points (0,0i ; 0,0j ; 0,0k), où i, j, k représentent des écritures binaires illimitées.
A la deuxième étape, on retire en plus les points (0,10i ; 0,00j ; 0,00k) du triangle bleu, les points (0,00i ; 0,10j ; 0,00k) du triangle rose et enfin les points (0,00i ; 0,00j ; 0,10k) du triangle vert.
B
R
V
Ainsi les points retirés à la deuxième étape se caractérisent par le fait que les chiffres au deuxième rang, après la virgule, valent 0, tous les trois (alors que l’un au premier rang vaut 1)
De proche en proche, on observe qu’un point est retiré à la n-ième étape lorsque les trois chiffres de rang n, après la virgule, valent 0, tous les trois (pour la première fois).
A contrario, on peut démontrer que seuls vont rester gris les points (b ; r ; v) tels, par exemple :
b = 0,011001
r = 0,100000100101 v = 0,000110011011
où il n’y a qu’un chiffre 1 à chaque rang sauf au dernier lorsque les écritures sont limitées (comme ci-dessus) ou alors il n’y a qu’un chiffre 1 à chaque rang, de manière illimitée.
En remarquant que les écritures limitées ci-dessus peuvent aussi s’écrire, de manière illimitée :
b = 0,011001000000000000000 … r = 0,100000100101000000000 … v = 0,000110011010111111111 …
disons que l’ensemble TS est l’ensemble des points (b ; r ; v) tels que, d’une manière au moins, les écritures binaires des trois coordonnées comportent un seul chiffre 1 à chaque rang.
En particulier, si b = 0 alors tous les points de RV appartiennent à TS et, plus généralement, tous les points des frontières entre triangles gris et triangles blancs appartiennent à TS.
Ainsi TS, qui a été défini comme intersection d’ensembles de surfaces non nulles, peut aussi être défini comme une réunion (dénombrable) de traits.
