Devoir Maison - Le triangle de Sierpinski.
On construit le "Triangle de Sierpinski" de la façon suivante :
Le "Triangle" est la figure obtenue comme la courbe limite issue d’une infinité d’étapes décrites de la façon suivante : À partir d’un triangle équilatéral, on construit à l’intérieur quatre petits triangles équilatéraux, et on supprime le triangle central. On poursuit ainsi de suite à chaque étape avec les triangles qui restent.
Voici dessinées les trois premières étapes du processus :
étape 0 étape 1étape 1 étape 2
On voudrait déterminer l’aire de cette figure, sachant que l’on démarre avec un triangle équilatéral de longueur1.
1) Étude de l’aire
•Préliminaire : SiABC est un triangle équilatéral de côtéx, montrer que l’aire deABC est √43x2.
•Compléter la phrase suivante :
" Lors de la construction de la figure, à la nième étape, on crée triangles que l’on soustrait ensuite, chacun de ces triangles a pour côté .
Chacun des triangles soustrait a pour aire : .
Donc l’aire totale supprimée lors de lanièmeétape, est égale à .
L’aire totale supprimée lors desnpremières étapes est donc égale à ".
• En déduire que l’aire totale supprimée lors desnpremières étapes est s’exprime comme la somme de termes d’une suite géométrique.
En déduire la valeur deAn en fonction den.
2) Étude du triangle de Sierpinski
Étudier le comportement de la suite(An)lorsquen→+∞. Que peut-on en déduire ?
