D170 - Le triangle de Sierpinski [**** à la main]
Problème proposé par Pierre Jullien Coordonnées triangulaires
Etant donné un triangle équilatéral PQR, un point A se projette en I, J, K sur les côtés QR,RP et PQ. La somme des trois longueur AI + AJ + AK est égale à la longueur de la hauteur du triangle PQR (s’en convaincre).
Prenons la hauteur du triangle PQR pour unité de longueur et notons AI = p, AJ = q et AK = r, alors p + q + r = 1. Ces trois nombres forment le triplet (p ; q ; r) et sont appelés coordonnées triangulaires du point A.
Les points P, Q, R ont respectivement pour coordonnées (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0) et (0 ; 0 ; 1).
Le point A, ci-dessus, a pour coordonnées (0,5 ; 0,3 ; 0,2).
Le triangle de Sierpinski
T = T
0
T
1Appelons intérieur d’un triangle équilatéral T la partie intérieure du triangle qui a pour sommets les milieux des trois côtés de T.
Partant d’un triangle équilatéral grisé T, à chaque étape, on retire l’intérieur de chaque triangle équilatéral restant. On obtient ainsi une suite de figures T = T0, T1, T2, T3, … , Tn, Tn+1,
…
T
2
T
3On appelle Triangle de Sierpinski, l’intersection TS de tous les Ti.
De manière imagée, nous dirons que TS est l’ensemble des points qui restent gris tout le long des étapes de réduction.
Questions
Déterminer pour chaque valeur de n :
- le nombre de triangles gris dans Tn ; - le nombre de triangles blancs dans Tn ;
- le périmètre de Tn, en fonction du périmètre p de T ; - la surface de Tn, en fonction de la surface s de T.
Déterminer, pour un point de coordonnées (p ; q ; r), où p + q + r = 1, à quelle condition il appartient au triangle TS de Sierpinski.
