D170 - Le triangle de Sierpinski [**** à la main]
Problème proposé par Pierre Jullien
Le triangle de Sierpinski
Appelons intérieur d’un triangle équilatéral T la partie intérieure du triangle qui a pour sommets les milieux des trois côtés de T.
Partant d’un triangle équilatéral grisé T, à chaque étape, on retire l’intérieur de chaque triangle équilatéral restant. On obtient ainsi une suite de figures T = T0, T1, T2, T3, … , Tn, ...
n T0 T1 T2 T3
On appelle Triangle de Sierpinski, l’intersection TS de tous les Ti.
De manière imagée, nous dirons que TS est l’ensemble des points qui restent gris tout le long des étapes de réduction.
Questions :
Déterminer pour chaque valeur de n : - le nombre de triangles gris dans Tn ; - le nombre de triangles blancs dans Tn ;
- le périmètre de Tn, en fonction du périmètre p de T ; - la surface de Tn, en fonction de la surface s de T.
Déterminer, pour un point de coordonnées (p ; q ; r), où p + q + r = 1, à quelle condition il appartient au triangle TS de Sierpinski.
Solution
Le nombre de triangles gris est Gn=3*Gn-1=3n.
Le nombre total de triangles est Nn=Nn-1+3*Gn-1=1+3*(1+3+3²+…+3(n-1))=
2 1 3n1
. Le nombre de triangles blancs est Bn=Nn-Gn=
2 1 3n
.
Le périmètre de Tn vaut (3/2)*Tn-1, car à chaque phase on remplace tous les triangles équilatéraux grisés par des triangles évidés, (comme au passage de 1 à 2), soit : Tn= p
n
2
3 , tend vers l'infini.
L'aire grisée, surface de Tn, est AGn=s
n
4
3 (même raisonnement).
TS=
n
Tn
lim , son aire tend vers 0. C'est une fractale.
D'après l'énoncé, on retire seulement l'intérieur des triangles blancs, donc on conserve leur pourtour.
On conserve donc indéfiniment tout le périmètre des triangles équilatéraux successifs.
Pour passer de T1 à T2, on enlève les points du premier triangle blanc, caractérisés par p, q et r tous les trois <1/2.
En binaire, la première décimale des 3 coordonnées p, q, r vaut 0.
Pour passer de T2 à T3, on enlève les points des 3 triangles blancs caractérisés par 2 coordonnées <1/4 et la troisième > 3/4.
En binaire, la deuxième décimale des 3 coordonnées p, q, r est à 0.
Et ainsi de suite…
Un point appartient au triangle de Sierpinsky TS s'il n'est pas éligible au blanchiment, cf. ci-dessus, c'est-à-dire si :
Chaque décimale binaire est à 1 pour une (seule) des coordonnées p, q ou r, et 0 pour les 2 autres, depuis le chiffre des unités jusqu'à l'infini.
Confirmation http://www.cut-the-knot.org/ctk/Sierpinski.shtml#trema parag. 7.
