D10429. Inscription équilatérale
Un triangle équilatéralP QRest inscrit dans un triangle quelconqueABC (P sur BC,Qsur CA,R surAB). On construit sur BC le triangle équi- latéralCBI de même sens que P QR.
a) Montrer que le quadrilatère IRAQ a même aire que le triangle ABC.
b) Tirer parti de cette propriété pour construire le triangle P QR le plus petit possible, le triangle ABC étant donné.
Solution
a) Une homothétie de rapport AB/AR transforme le triangle P QR en EDB avecAE/AP =AD/AQ=AB/AR=AG/AC, si la parallèle à BC menée parE coupe AC enG.
SoitBIC le triangle équilatéral de même sens que P QR, une rotation de centre Det d’angle π/3 amène B en E et la droiteBI sur la droiteEG.
C est à la même distance de ces deux droites.
Rappelons que l’aire d’un quadrilatère est le demi-produit d’une diagonale par la projection de l’autre diagonale sur une perpendiculaire à la première.
Ainsi aire IBD = (1/2)BD· projection de BI perpendiculairement à BD= (1/2)BI· distance de D à BI = (1/2)BC· distance de D à EG= aire GBD(il en résulte queIG est parallèle à BD).
Ajoutant l’aire de ABD, aireABG = aireIBAD= (AG/AC) aire ABC (ABC etABG ont même hauteur issue deB).
La projection deBDperpendiculairement àAI est (AG/AC) fois la pro- jection deQR perpendiculairement àAI; ainsi
aire IRAQ= (AC/AG) aire IBAD= aireABC.
b) Quel que soit P QR, la projection de QR perpendiculairement à AI est (2/AI) aire ABC. QR sera minimum quand il coïncide avec cette projection, donc quand il est perpendiculaire àAI.
Pour le construire, tracer BD perpendiculaire à AI, E formant avec B et D un triangle équilatéral, P intersection de AE et BC, P Q et P R parallèles àED etEB.
Roger Lassiaille évite le recours à l’homothétie dans la question a) en considérant le point M où BC recoupe le cercle circonscrit au triangle P QR.
En angles orientés de droites non orientées, définis modulo π, de (M R, M P) = (QR, QP) =π/3 = (BI, BC)
découle queRM est parallèle à BI; de même, de (M P, M Q) = (RP, RQ) =π/3 = (CB, CI) découle queQM est parallèle à CI.
Le point M se situe sur le segment BC si les angles en B ou en C du triangle sont inférieurs à 2π/3.
Si c’est le cas, en particulier si le triangle ABC a son plus grand angle en A, on obtient IRAQ en retranchant du quadrilatèreIBAC le triangle IBR, de même aire que IBM, et le triangle ICQ, de même aire que ICM. Enlevant IBM et ICM de IBAC, il reste ABC, d’où l’égalité à démontrer.
Si l’angle B excède 2π/3, B est entre M et C, IRAQ s’obtient à partit de IBAC en ajoutant le triangle IRB, de même aire que IBM, et en retranchant le trianglke ICQ, de même aire que ICM. Ajoutant IBM et enlevant ICM à IBAC, il reste ABC, d’où l’égalité à démontrer. De même si c’est l’angle C qui excède 2π/3.
