SECTIONMATHS
4`EMEANNEE´
DEVOIR DE CONTROLEˆ # 2.
DUREE´ : 2 H
Pr : Ben fredj sofiane
EXERCICE 1(4 points). Repondre par Vrai ou Faux. En justiant la reponse.
1 ABCD un arre tel que
∧
(
!
AB;
!
AD)
2
[2℄, alors :
(a) La transformation S
(AB) Æt−→
CB ÆS
(CD)
est une translation.
(b) La transformation R
(B;
2 )
ÆS
(BD)
est une symetrie orthogonale.
2 Le plan est rapporte a un repere orthonorme diret (O;
!
u ;
!
v).
(a) Soit E
′
l'image d'un point E d'aÆxe i par la rotation de entre F d'aÆxe (2+i) et d'angle
2
alors l'aÆxe de E
′
est : 2+3i
(b) L'appliationduplan danslui-m^emequia toutpoint M d'aÆxez assoiele pointM
′
d'aÆxe
z
′
=iz+1. est une symetrie orthogonale.
EXERCICE 2(6 points). Dans le plan oriente, on donne un triangle ABC tel que :
∧
(
!
CA;
!
CB)
3
[2℄ ave CB>AC
Soit D le symetrique de C par rapport la droite (AB) et soit E l'image de D par la rotation de
entre C et d'angle 2
3
1 Construire E. (Utiliser la gure donnee au feuille annex.)
2 Soit f =S
(AB) ÆS
(BC) ÆS
(AC) .
(a) Montrer que f(E) =C et f(C)=D
(b) I;J designent les milieux respetifs des segments [EC℄ et [CD℄. Montrer que f est une
symetrie glissante que l'on preisera l'axe et le veteur.
3 (a) Montrer qu'il existe un unique deplaement g tel que g(D) =C et g(C)=E.
(b) Montrer que g est une rotation que l'on preisera l'angle. Construire son entre .
() Montrer que I;C;J et appartiennent au m^eme erle.
4 Pour tout point M du plan, on note N =f(M) et P =g(N). Determiner l'ensemble des milieux
des segments [MP℄ lorsque M varie.
1 DEVOIR DE CONTROLEˆ # 2 Annee s 2011-2012
EXERCICE 3(4 points). Pour tout n 2N, on pose : Un
= 1
0
1 t 2
n
dt
1 Caluler U
0 et U
1 .
2 Montrer que (U
n
) est deroissante puis qu'elle est onvergente.
3 Caluler a l'aide de n, l'integrale Z
1
0
(1+t) n
dt.
4 Montrer que, pour tout n 0, U
n
2 n+1
n +1
5 Caluler lim
n→+
U
n
2 n
.
EXERCICE 4(6 points). Soit ' la fontion denie sur l'intervalle I =℄
2
;
2
[ par :
'(x)= Z
1+tan x
0
g(t)dt ou g(t)= 1
t 2
2t+2
1 a Montrer que ' est derivable sur I puis aluler '
′
(x) pour x2I.
b Preiser '
4
puis deduire l'expression '(x) a l'aide de x ou x2I.
Deduire la valeur de l'integrale : J = Z
2
0
dt
t 2
2t+2 .
2 Soit f la fontion denie sur R par f(t)=
t
1+(t 1) 2
.
a Montrer que f possede une unique primitive F sur R qui s'annule en 0.
b Verier que pour tout reel t,
2 t
1+(t 1) 2
=f(2 t).
Deduire que Z
2
0
2 t
1+(t 1) 2
dt=F(2) puis deduire que Z
2
0
t
1+(t 1) 2
dt=
2 .
3 On donne dans la gure i-dessous les ourbes (C
1
) et (C
2
) respetives des fontions f et g.
Caluler en unite d'aire, l'aire de la partie du plan oloree.
(C
2 ) (C
1 )
1
1
1 2
x y
2 DEVOIR DE CONTROLEˆ # 2 Annee s 2011-2012
FEUILLE ANNEX Nom :...
Prenom :...
b
C
b
A
b
B
b
D
3 DEVOIR DE CONTROLEˆ # 2 Annee s 2011-2012
