Calcul Int´egral (L3),Universit´e de Cergy–Pontoise Examen du 12 d´ecembre 2011, dur´ee : 3 heures
Les notes de cours ne sont pas autoris´ees1 Premi`ere partie
Questions. (5 points)Pour les questions 1–10, donner la r´eponse sans justi- fication. Chaque bonne r´eponse vaut 0,5 point.
1. La tribu bor´elienne sur [0,1] est la tribu minimale contenant les ensembles [0,1/2] et [1/2,1].
Vrai Faux
2. Soitf :R→Rune fonction bor´elienne. Alors f est repr´esentable sous la formef =f+−f−, o`uf+ etf− sont des fonctions continues positives.
Vrai Faux
3. Toute fonction continuef : [0,1]→Rest bor´elienne.
Vrai Faux
4. Soitµ une mesure sur X = [0,1] de masse totale finie. Alorsµ(Γ)<∞ pour tout Γ∈ BX.
Vrai Faux
5. Soitλla mesure de Lebesgue surR. Alors pour tout intervalle ]a, b[ on a λ(]a, b[) =b−a.
Vrai Faux
6. SoitX = [0,1] avec la tribu bor´elienne. Il existe une mesureµsurX telle que la mesure 2µn’est pas absolument continue par rapport `aµ.
Vrai Faux
7. Soit λla mesure de Lebesgue sur R. Alors la fonction f(x) = |x|−1e−x appartient `a l’espaceL2(R, λ).
Vrai Faux
8. SoitX = [0,1] avec la tribu bor´elienne et la mesure de Lebesgueλ. Soit fn :X →Rune suite de fonctions mesurables telle que|fn(x)| ≤C/√
nx pourn≥1000 etx∈]0,1]. AlorsR
Xfndλ→0 quandn→ ∞.
Vrai Faux
9. Soitµ1, µ2des mesures surX = [0,1] de masse totale finie etµ=µ1⊗µ2. Alorsµ(X×X)<∞.
Vrai Faux
1La note finale est calcul´ee par la formuleNote finale = min(N1,10) +N2, o`uN1etN2 sont les notes pour les parties I et II.
1
10. Soit µune mesure absolument continue par rapport `a la mesure ν. Pour tout ensemble bor´elien Γ, siµ(Γ)>0, alorsν(Γ)>0.
Vrai Faux
Questions de cours. (a) (1 point) Soit {an} une suite de nombres r´eels telle quean ≤an+1 pour tout n≥1 et an →a quandn→ ∞. Montrer quean≤apour toutn≥1.
(b) (1 point)Soit {an},{bn} ⊂ Rdeux suites telles que an ≤bn pour tout n≥1 etan→aquandn→ ∞. Montrer que lim infn→∞bn ≥a.
(c) (1 point)Donner la d´efinition de la tribu bor´elienne sur [0,1].
(d) (1 point)Enoncer le lemme de Fatou.
(e) (1 point) Enoncer le th´eor`eme de Radon–Nikodym.
Questions de TD. (a) (2 points)Montrer que l’int´egrale f(x) =
Z +∞
0
e−t2cos(xt)dt
d´efinit une fonction continue et d´erivable pour toutx∈R.
(b) (2 points)Prouver que f satisfait l’´equation diff´erentielle 2y0+xy= 0.
R´esoudre cette ´equation.
(b) (1 point)Sachant quef(0) =
√π
2 , montrer quef(x) =
√π 2 e−x2/4. Deuxi`eme partie
Exercice 1. (a) (1 point)Prouver que l’int´egrale In =R∞ 0
e−nx√
x dx est finie pour tout entiern≥1.
(b) (1 point)Montrer queIn≥In+1 pour toutn≥1.
(c) (2 points)Trouver la limite de la suite{In} quandn→ ∞.
Exercice 2. Soitλla mesure de Lebesgue etµ=δ1+ 2δ2. On noteν =λ⊗µ et
f(x, y) = y x2+y2+ 1.
(a) (2 points) Le th´eor`eme de Fubini, est-il applicable `a la fonction f et la mesureν. (Justifier la r´eponse.)
(b) (4 points)Calculer l’int´egrale Z
R2
f(x, y)dν(x, y).
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Corrig´e de l’examen pour le coursCalcul int´egral
Questions. 1. Faux, 2. Faux, 3. Vrai, 4. Vrai, 5. Vrai, 6. Faux 7. Faux, 8. Vrai, 9. Vrai, 10. Vrai.
Questions de cours. (a) Supposons qu’il existe m ≥ 1 tel que am > a. Soit ε=12(am−a)>0. Alors il existen0≥1 tel que|an−a|< εpourn≥n0, d’o`u on voit quean≤a+ε < am pourn≥n0. D’autre part,an ≥am pourn≥m.
La contradiction obtenue montre quean≤apour toutn≥1.
(b)Supposons que lim infnbn< a. Alors il existeε >0 une suitenk → ∞ telle quebnk ≤a−ε. Il s’ensuit que ank ≤a−ε. En passant `a la limite, on obtienta≤a−ε. La contradiction obtenue montre que lim infnbn ≥a
(c) Soit X = [a, b] un intervalle. La tribu bor´elienne sur X est d´efinie comme la tribu minimale contenant tous les ensembles de la forme X∩]α, β[
avecα, β∈R.
(d)Soitµune mesure sur un intervalleX= [a, b] muni de la tribu bor´elienne.
Soit{fn} une suite de fonctions surX qui sont positives et bor´eliennes. Alors Z
X
lim inf
n→∞ fn
dµ≤lim inf
n→∞
Z
X
fndµ.
(e) Soit µ et ν deux mesures σ-finies sur in intervalle X muni de la tribu bor´elienneBX. Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes :
• µest absolument continue par rapport `aν; c’est-`a-dire, pour tout Γ∈ BX, la relationν(Γ) = 0 implique queµ(Γ) = 0.
• il existe une fonctionh∈ L1(X, ν) telle que pour tout Γ∈ BX on a µ(Γ) =
Z
X
IΓh dν.
Questions de TD. (a)On a les majorations suivantes :
|e−t2cos(xt)| ≤e−t2,
∂
∂xe−t2cos(xt)
≤te−t2.
Comme les membres de droites dans ces in´egalit´es sont des fonctions int´egrables, la continuit´e et d´erivabilit´e def sont cons´equences des r´esultats g´en´eraux ´etablis dans le cours.
(b)En d´erivant sous l’int´egrale et int´egrant par parties, on obtient f0(x) =−
Z +∞
0
e−t2tsin(xt)dt=−x 2
Z +∞
0
e−t2cos(xt)dt,
d’o`u on voit que f v´erifies l’´equation 2y0+xy = 0. Sa solution g´en´erale est donn´ee par la formuley(x) =Cexp(−x4/2).
(c)Commef(0) =
√π
2 , on aC=
√π
2 , d’o`u on conclut quef(x) =
√π 2 e−x2/4.
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Exercice 1. (a)Pour toutn≥1, on a
e−nx
√x
≤
e−x, x≥1,
x−1/2, 0< x≤1, (1)
d’o`u on voit queIn<∞pour toutn≥1.
(b) Comme e−(n+1)x ≤ e−nx, la monotonie de l’int´egrale implique que In+1≤In.
(c)Pourx >0, on a e√−nxx →0 quandn→ ∞. L’in´egalit´e (1) montre qu’on peut applique le th´eor`eme de Lebesgue, donc limn→∞In= 0.
Exercice 2. (a)Comme Z
R
|f(x, y)|dλ(x)≤ Z
R
|y|
x2+ 1dλ(x) =π|y|, on a
Z
R
Z
R
|f(x, y)|dλ(x)
dµ(y) = 5π <∞.
Donc, le th´eor`eme de Fubini est applicable.
(b)En utilisant le th´eor`eme de Fubini, on obtient Z
R2
f(x, y)dν(x, y) = Z
R
Z
R
f(x, y)dµ(y)
dλ(x)
= Z
R
1
x2+ 2+ 4 x2+ 5
dx= π
√ 2 + 4π
√ 5.
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