Universit´ e de Cergy-Pontoise Mars 2010 SVT-S1- Maths pour les Sciences L1
Seconde Session - Dur´ee 1 heure 30, documents et calculatrice interdits
Premier Exercice - 7 points
Soitf la fonction d´efinie surI=]0,+∞[ par :
f(x) = lnx x 1. Calculer la d´eriv´ee def et ´etudier son signe.
2. Dresser le tableau de variation def. On pr´ecisera et on justifiera les limites en 0 et en +∞.
3. Donner l’allure de la courbe repr´esentative def. 4. Calculer
J = Z 2
1
f(t)dt
Deuxi` eme Exercice - 6 points
On veut r´esoudre dansCl’´equation :z4+ 1 = 0 (1).
1. Montrer qu’il existe un nombre r´eelaque l’on pr´ecisera tel que : z4+ 1 = (z2+az+ 1)(z2−az+ 1) 2. R´esoudre alors l’´equation (1).
3. Donner la forme trigonom´etrique des quatre solutions de (1).
Troisi` eme exercice - 7 points
Les deux questions sont ind´ependantes.
1. R´esoudre, sur l’intervalle I=]0,+∞[, l’´equation
y0−2y
x = x2 1 +x2
On commencera par r´esoudre l’´equation sans second membre, puis on v´erifiera quey0(x) =x2arctanx est une solution particuli`ere de l’´equation compl`ete.
2. Calculer
I= Z 1
0
1 1 +√
xdx en prenant comme nouvelle variable
u=√ x
