Th´eorie des groupes LM 371, 2012-2013. Universit´e Pierre et Marie Curie
Deuxi` eme session
juin 2013
L’utilisation des documents, calculatrices et t´el´ephones portables est interdite. Les r´eponses doivent ˆetre soigneusement justifi´ees.
Exercice 1. Soit Gun groupe fini. On rappelle que l’exposant de G, not´e exp(G), est le plus petit entier strictement positif n tel que gn =e, pour tout g ∈G.
1) Montrer que le groupeZ/35Zposs`ede 24 g´en´erateurs. Il n’est pas n´ecessaire d’en faire la liste.
2) Calculer l’exposant du groupe Z/6Z×Z/10Z×Z/15Z. 3) Mˆeme question pour le groupe S5.
4) Dans le groupe S6, d´ecomposer la permutation (1236)(25)(643) en produit de cycles disjoints. Quelle est sa signature?
Exercice 2. Si X est un ensemble, on note |X| le cardinal de X. Soit G un groupe fini. Pour tout sous-groupe H de G, on noteNG(H) le normalisateur de H dans G; on rappelle que
NG(H) ={g ∈G, gHg−1 =H}.
0) SoitH un sous-groupe deG. Montrer queNG(H) est un sous-groupe deG contenant H.
1) Soit H l’ensemble des sous-groupes de G. On fait agir G sur H par conjugaison (formule: g.H =gHg−1 pourg ∈GetH ∈ H). SoitH ∈ H. Montrer que le stabilisateur deH est NG(H). En d´eduire une bijection
G/NG(H)−→O(H), o`uO(H) d´esigne l’orbite de H.
2) D´eduire des questions pr´ec´edentes que |O(H)| ≤ |G|/|H|, pour tout sous-groupeH de G.
3) Soit Hi, i∈I, une famille (finie) de sous-groupes de G. Montrer que
| ∪i∈IHi| ≤Σi∈I(|Hi| −1) + 1.
4) Utiliser les questions 2) et 3) pour montrer queGn’est jamais la r´eunion des conjugu´es d’un sous-groupe H 6=G.
Exercice 3. Soit G un groupe fini et p un nombre premier divisant |G|. Soit S un p-Sylow de G, N := NG(S) et N0 := NG(N) (cf. exercice 2 pour la d´efinition de NG).
On a donc S ⊂N ⊂N0.
Le but de l’exercice est de montrer que N =N0.
1) Soit g ∈N0. Montrer queg.S.g−1 est un p-sylow de N. 2) En d´eduire qu’il existeh∈N tel que g.S.g−1 =h.S.h−1. 3) Montrer queh−1g ∈N et conclure que g ∈N.
Exercice 4.
Soit G un groupe de cardinal 525 = 3.52.7. Le but de l’exercice est de montrer que G n’est pas simple. Par l’absurde, on supposeG simple.
1) Soit p∈ {3,5,7}. Expliquer pourquoi G ne peut poss´eder un seulp-Sylow.
2) Soit sp le nombre dep-Sylow de G. Montrer que s3 = 7,25 ou 175, ques5 = 21 et que s7 = 15.
On suppose maintenant que s3 = 7.
3) a) En consid´erant l’action de G sur l’ensemble de ses 3-Sylow par conjugaison, con- struire un morphisme non trivial f : G −→ S7 (On rappelle que f est dit non trivial si Ker(f)6=G).
3) b) En utilisant la simplicit´e deG, montrer quef est injectif. Expliquer alors pourquoi
|G| divise|S7|.
3) c) En d´eduire que l’hypoth`eses3 = 7 est absurde.
On a donc s3 = 25 ou 175.
4) Montrer queG poss`ede au moins 50 ´elements d’ordre 3, au moins 25 ´el´ements d’ordre 5 ou 25, et exactement 90 ´el´ements d’ordre 7.
5) Soit X l’ensemble des 7-Sylow de G. On fait agir G sur X par conjugaison. Soit S un 7-Sylow de G. Expliquer pourquoi X = O(S). En d´eduire que N := NG(S) est de cardinal 35 (On pourra utiliser la question 1) de l’exercice 2).
6) Montrer queN a un unique 5-Sylow et un unique 7-Sylow. En d´eduire qu’il est cyclique.
D’apr`es l’exercice 1, on sait donc que le nombre de g´en´erateurs de N (=le nombre d’´el´ements de N d’ordre 35) est ´egal `a 24.
7) Soit Y = {g.N.g−1, g ∈ G} l’ensemble des conjugu´es de N. Grˆace `a la question 1) de l’exercice 2, montrer que |Y| = |G|/|NG(N)|. Conclure `a l’aide de l’exercice 3 que
|Y|= 15.
8) SoitA, B deux sous-groupes cycliques deG, distincts, `a 35 ´el´ements chacun. Expliquer bri`evement pourquoi A et B n’ont aucun g´en´erateur en commun. En d´eduire que G poss`ede au moins 360 ´el´ements d’ordre 35.
9) Conclure que G n’est pas simple.
