L2-S4 2012-2013 Int´egration
Examen
Deuxi` eme session juin 2013 2 heures
Documents et machines interdits Barˆ eme ` a titre indicatif
Exercice 1. Vrai ou faux (5 points). Indiquer si la proposition est vraie ou fausse, sans justification. + 1 point par r´eponse juste. -1 point par r´eponse fausse ! Note minimale : 0.
(1) Calculer une int´egrale double revient `a calculer deux int´egrales simples.
(2) Sur un ouvert, une 1-forme ferm´ee est toujours exacte.
(3) L’int´egrale R+∞
−∞ tdtvaut 0.
(4) L’int´egrale sur [−1,1] de la fonction qui vaut−1 sur [−1,0[, 0 en 0, 1 sur ]0,1] vaut 0.
(5) La 1-formexdx+ydy est exacte sur le disque unit´e.
Exercice 2. (2 points)Calculer, en utilisant les sommes de Riemann, lim
n→∞
n−1
X
k=0
n n2+k2.
Exercice 3. (4 points) Pour z∈R, on note par Dz le disque du plan de centre (0; 0) et de rayon 1 +z.
SoitC={(x;y;z)∈R3;z∈[0; 1],(x;y)∈Dz}et V son volume.
a) DessinerC.
b) Expliquer pourquoi on a la formule
V =
Z 1
0
Z Z
Dz
dxdy
dz.
c) CalculerV.
Exercice 4. (3 points)Soitr >1 etErl’ext´erieur du disque de rayonret de centre 0 du plan. Soitt > r etCr(t) la couronne
Cr(t) ={(x, y)∈R2|r2≤x2+y2≤t2}.
a) En utilisant les coordon´ees polaires, transformer Z Z
Cr(t)
dxdy k(x, y)kα, o`u α >0 etk(x, y)k=p
x2+y2, en une int´egrale simple.
b) Pour quelles valeurs deα
t→∞lim Z Z
Cr(t)
dxdy k(x, y)kα existe ?
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Exercice 5. (7 points)On va ´etudier la fonction
F(x) = Z +∞
1
arctg t
x x
t2dt avecx >0. On rappelle que arctg tend vers π2 en +∞.
a) (1 pt)Montrer queF est bien d´efinie.
b) (1,5 pt)Montrer queF est continue.
c) (2 pt)Montrer queF estC1et donner une expression de sa d´eriv´ee.
d) (1,5 pt)Montrer, en faisant soigneusement une int´egration par partie, que, pour toutx >0, Z +∞
1
arctg t
x 1
t2dt= arctg 1
x
+ Z +∞
1
1 1 +xt22
1 xtdt.
e) (0,5 pt)En d´eduire que pour tout x >0,F0(x) = arctg x1 . f ) (0,5 pt)En d´eduire une expression int´egrale deF.
Question bonus, 2 points: Montrer que limx→0+F(x) = 0.
Fin de l’´epreuve
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