Examen de juin 2007, deuxi` eme session, dur´ ee 3 heures

Examen de juin 2007, deuxi` eme session, dur´ ee 3 heures

LM336 – Universit´e Pierre et Marie Curie Les documents, t´el´ephones et calculettes sont interdits

I

Soit [a, b] un intervalle ferm´e et born´e de IR, a < b, et soit f : [a, b]×IR 7→ IR une fonction donn´ee continue sur [a, b]×IR, lipschitzienne par rapport `a la deuxi`eme variable: il existe une constante L > 0 telle que

∀x∈[a, b], ∀y,∀y^? ∈IR , |f(x, y)−f(x, y^?)| ≤L|y−y^?|. (1) On consid`ere l’´equation diff´erentielle sur [a, b]

∀x∈[a, b], y⁰⁰(x) =f(x, y(x)), (2)

avec les conditions initiales:

y(a) =α , (3)

y⁰(a) =β , (4)

o`uα∈IR et β∈IR sont donn´es.

1. Pour montrer que le probl`eme (2)–(4) admet une et une seule solutiony appartenant `aC²([a, b]), on se ram`ene `a un syst`eme de deux ´equations diff´erentielles d’ordre un en d´efinissant la fonction auxiliairezpar

z=y⁰. SoitY = (y, z).

a) Montrer que

Y⁰=F(x,Y), Y(a) = (α, β), (5)

et exprimerF(x,Y) : [a, b]×IR² 7→IR² en fonction de f(x, y) et z.

b) Montrer que F est continue sur [a, b]×IR² et uniform´ement Lipschitz par rapport `aY.

c) Montrer que le syst`eme (5) admet une et une seule solution Y ∈ C¹([a, b])². Que pouvez-vous conclure en ce qui concerne l’existence et l’unicit´e de la solution y de (2)–(4)?

d) On suppose en plus que f ∈ C^p([a, b]×IR) pour un entier p ≥ 1. Quelle est la r´egularit´e de y ? Justifier votre r´eponse par une d´emonstration.

Pour approcher y, on choisit un entier N ≥ 2, on poseh = (b−a)/N, xn = a+nh,0 ≤ n≤N et `a partir dey0 =α et z0 =β, on d´efinit les suites

yn+1 =yn+hzn+h²(γ1fn+1+γ2fn),

zn+1 =zn+h(γ3fn+1+γ4fn), (6)

o`ufi =f(xi, yi) et γj, 1≤j≤4, sont des constantes r´eelles `a choisir.

2.a)Pour quelles valeurs des param`etres γj, 1≤j ≤4, le sch´ema (6) est-il explicite ?

b) Dans le cas g´en´eral, poury0 et z0 fix´es, montrer que le sch´ema (6) admet une et une seule solution pour tout

h < 1

p|γ1|L. (7) 1

c) Donner un algorithme qui permette de calculer une valeur approch´ee deyn+1, zn+1 `a partir deyn, zn. d) Montrer que cet algorithme converge pour tout h < h0, r´eel positif qu’on pr´ecisera.

On dit que le sch´ema (6) est d’ordre p si p est le plus grand entier tel que pour tout fonction y ∈ C^p+2([a, b]), on ait

1

h(y(xn+1)−y(xn))−y⁰(xn)−h γ1y⁰⁰(xn+1) +γ2y⁰⁰(xn)

= O(h^p), 1

h y⁰(x_n+1)−y⁰(x_n)

− γ3y⁰⁰(x_n+1) +γ4y⁰⁰(x_n)

= O(h^p).

(8)

3.Calculer l’ensemble de tous les {γi}⁴_i=1 pour lesquels le sch´ema (6) est d’ordre deux.

Pour εn>0 etϕn>0 donn´es on d´efinit le sch´ema perturb´e:

y^?_n+1 =y_n^?+hz_n^? +h² γ1f_n+1^? +γ2f_n^?

+hεn, z^?_n+1 =z^?_n+h γ3f_n+1^? +γ4f_n^?

+hϕ_n, (9)

o`uf_i^? =f(xi, y^?_i) ety^?₀ et z₀^? sont donn´es.

4.On suppose `a partir de maintenant queγ1= 0 et γ2=γ3 =γ4= ¹₂. a) Montrer d’abord que

|y^?_n+1−y_n+1| ≤(1 + 1

2h²L)|y_n^?−y_n|+h|z_n^?−z_n|+h|ε_n|,

|z_n^?+1−z_n+1| ≤ |z^?_n−z_n|+1

2hL |y^?_n+1−y_n+1|+|y_n^?−y_n|

+h|ϕ_n|. b) Montrer ensuite que

|z^?_n+1−z_n+1| ≤(1 + 1

2h²L)|z^?_n−z_n|+hL(1 + 1

4h²L)|y_n^?−y_n|+h

|ϕ_n|+1 2hL|ε_n|

.

c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que

|y^?_n+1−yn+1|+|z^?_n+1−zn+1| ≤

1 +h(1 +L) + 1

2h²L(1 + h 2L)

(|y_n^?−yn|+|z^?_n−zn|) +h(1 +1

2hL) (|ϕ_n|+|ε_n|).

(10)

d) Pour simplifier, majorer les facteurs dans (10) qui sont au moins d’ordre h² en remarquant que h≤1.

e) On pose

ξi=|y_i^?−yi|+|z_i^?−zi|.

Montrer qu’il existe des constantes ind´ependantes dehet n, C1 et C2, qu’on explicitera, telles que ξ_n+1 ≤(1 +C1h)ξ_n+C2h(|ϕ_n|+|ε_n|).

f) Que pouvez-vous en d´eduire ? g) Montrer que

ξ_n≤ξ0(e^nhC1 +C1

C2

sup

0≤i≤n−1

(|ϕ_i|+|ε_i|)(e^nhC1−1). 5.On suppose que la solution y est assez r´eguli`ere. Montrer que

|y(x_n)−y_n|+|y⁰(x_n)−z_n| ≤Ch², 1≤n≤N ,

avec une constanteC ind´ependante deh et n. Pr´eciser vos hypot`eses de r´egularit´e sur y.

2