Examen, deuxi` eme session

Universit´e Paris 6 Ann´ee 2009-2010 LM345

Examen, deuxi` eme session

Dur´ee : 2h. Documents autoris´es. Sujet recto-verso.

Exercice 1. Pour chacune des fonctions fbsuivantes, d´eterminer s’il existe une va- riable al´eatoireXtelle quefbsoit la fonction caract´eristique deX. Si oui, d´eterminer alors la fonction de r´epartition deX. Toute r´eponse doit ˆetre justifi´ee.

1. f(t) = cosb t

2. f(t) = cosb t+ sint

3. f(t) = (tb + 1)1_[−16t60]+ (1−2t)1_[0<t61]

4. f(t) =b ϕ₁(t)−ϕ₂(t), o`uϕb_i(t), i= 1,2, sont des fonctions caract´eristiques.

Indication : on rappelle que si fbest la fonction caract´eristique de X, et F est la fonction de r´epartition de X, alors on a :

fb(t) = E(cos(tX)) +iE(sin(tX)) = Z ∞

−∞

cos(tx)dF(x) +i Z ∞

−∞

sin(tx)dF(x)

Exercice 2. Un arrˆet de bus est desservi tous les quarts l’heures exacts (i.e. `a 8h, 8h15, 8h30 etc.). Un usager arrive `a l’arrˆet `a un instant al´eatoire uniform´ement r´eparti sur 8h-8h30. On note X la variable al´eatoire ´egale au nombre de minutes

´

ecoul´ees depuis 8h au moment de l’arriv´ee de l’usager `a l’arrˆet de bus. On a donc X ∼U([0,30]).

1. Avec quelle probabilit´e l’usager attend-t-il le bus moins de 5 minutes ? plus de 10 minutes ?

2. Un autre usager arrive `a l’arrˆet Y minutes apr`es 8h, avec Y une variable al´eatoire de densit´e g d´efinie pour y∈R par :

g(y) = a(30−y)²1_[0,30](y) (a) D´eterminer a et repr´esenter g graphiquement.

(b) Calculer la probabilit´e que le deuxi`eme usager attende le bus moins de 5 minutes, ainsi que la probabilit´e qu’il attende plus de 10 minutes.

Exercice 3. Soit a > 0 et soient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de lois uniformes sur ]0, a[. On pose U = inf (X, Y), V = sup (X, Y), Z = U −V etT = ^U_V.

1. D´eterminer la loi du couple (U, V).

2. Les variables U etV sont-elles ind´ependantes ? 3. D´eterminer les lois de Z et de T

Exercice 4. On consid`ere le jeu suivant. On lance simultan´ement deux d´es, un `a 20 faces (num´erot´ees de 1 `a 20) et un `a 4 faces (num´erot´ees de 1 `a 4). On mod´elise les scores des deux d´es par des variables al´eatoires, not´ees respectivement X et Y, d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,F,P), et suppos´ees ind´ependantes et de lois uniformes.

Le nombre Z de points marqu´es lors du lancer est d´efini ainsi : – Si X <12, on marque 0 points (Z = 0).

– Si 126X <20, on marque Y points (Z =Y).

– Si X = 20, on marque 2Y points (Z = 2Y).

1. (a) D´eterminer les espaces d’arriv´ee respectifs de X, Y et Z. S’agit-il de variables al´eatoires `a densit´e ? discr`etes ?

(b) D´eterminer la loi de Z.

2. (a) Calculer les esp´erances de X,Y et Z.

(b) Calculer la variance σ² deZ.

3. On consid`ere maintenant des suites de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees (X_n)_n>1, (Y_n)_n>1et (Z_n)_n>1d´efinies comme ci-dessus.

Pour n∈N^∗, on note

V_n=

n

X

k=1

Z_k le score total obtenu apr`esn lancers.

(a) Un joueur vous dit qu’il a obtenu un score de 80 apr`es 10 lancers. Quelle

´etait la probabilit´e d’un tel ´ev`enement ? (b) Quelle est l’esp´erance de V_n?

(c) Montrer que l’on a la convergence en loi suivante lorsque n → ∞: 1

σ√ n

Vn−5n 4

L

−−−→n→∞ N(0,1) (o`u σ a ´et´e d´efini au 2b).