Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Seconde session
LM216 Juin 2010
Les appareils ´electroniques et les documents sont interdits. Les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees et r´edig´ees de mani`ere rigoureuse. Si des r´esultats du cours sont utilis´es, ils doivent clairement ˆetre ´enonc´es.
Soit a >0. On consid`ere l’ensemble
E :={(x, y)∈R2 |x >0, y >0, x+y≤2a},
et la fonction f :E → R,(x, y) 7→xlnx+ylny. On d´efinit aussi, dans R2, les segments (ferm´es) S d’extr´emit´es (2a,0) et (0,2a),H d’extr´emit´es (0,0) et (2a,0), et V d’extr´emit´es (0,0) et (0,2a).
1. Tracer l’allure de la fonction u7→ulnu sur ]0,+∞[, en mettant en ´evidence ses changements de signe et son comportement limite en 0 et +∞.
2. D´eterminer l’int´erieur ˚E et l’adh´erence ¯E de E. L’ensemble E est-il born´e ? 3. Montrer que f estC∞ sur E.
4. (a) Montrer que f est prolongeable par continuit´e sur ¯E.
(b) Montrer que f, ainsi prolong´ee, est born´ee sur ¯E et qu’elle admet un maximum et un minimum global sur ¯E.
5. (a) Montrer que f admet un point critique dans E si et seulement sia > 1e. (b) Montrer que ce point critique, s’il existe, est un minimum global sur E.
(c) Lorsquea≤ 1e, que peut-on dire de la position des points r´ealisant le minimum global de f sur ¯E?
6. (a) Quelle que soit la valeur de a >0, que peut-on dire de la position des points r´ealisant le maximum global def sur ¯E?
(b) On suppose dans cette question que a < 12. D´eterminer max
(x,y)∈E¯f(x, y), et tous les points (u, v) de ¯E tels quef(u, v) = max
(x,y)∈E¯f(x, y).
7. Montrer que f est int´egrable sur ¯E et calculerI = Z Z
E¯
f(x, y) dx dy en fonction de a.
8. (a) Montrer que
Z
H
x2lnx−x2 2
dy=
Z
H
y2lny−y2 2
dx= 0, Z
V
y2lny−y2 2
dx=
Z
V
x2lnx−x2 2
dy = 0.
(b) En d´eduire que, pour un choix d’orientation de S que l’on pr´ecisera, on a Z
S
x2lnx−x2 2
dy−
Z
S
y2lny−y2 2
dx= 2I.
9. On consid`ere l’ensemble
G:={(x, y, z)∈R3 |x≥0, y≥0, z ≥0, x+y+z≤1}.
Calculer Z Z Z
G
(xlnx+ylny) dx dy dz.
