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Les coordonnées données sont exprimées dans la base (I, J)

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Jeudi 12/10/2017

Devoir à la Maison 2

1. Dans un repère orthonormé(O;I, J), on considère les points :A(3 ; −2)etB(2 ; −4).

Soit M(x; y) le point tel que :2−−→

M B+ 3−−→

M A=~0.

O(0 ; 0), I(1 ; 0) et J(0 ; 1). Les coordonnées données sont exprimées dans la base (I, J). (a) À l'aide de la relation de Chasles, établir que : −−→

BM = 3 5

−−→

BA. Construire alors le pointM.

1ère méthode 2ème méthode

−−→BM = 3 5

−−→ BA

−−→BM = 3 5

−−→

BM +−−→

M A

−−→BM = 3 5

−−→BM+ 3 5

−−→M A

−−→BM −3 5

−−→BM−3 5

−−→M A=~0 2

5

−−→BM−3 5

−−→M A=~0 2−−→

BM −3−−→

M A=~0

−2−−→

M B−3−−→

M A=~0 2−−→

M B+ 3−−→

M A=~0

2−−→

M B+ 3−−→

M A=~0

−2−−→

M B−3−−→

M A=~0 2−−→

BM −3−−→

M A=~0 3−−→

BM −3−−→

M A=−−→

BM 6−−→

BM −3−−→

BM −3−−→

M A=−−→

BM 6−−→

BM−3−−→

BA=−−→

BM

−3−−→

BA=−5−−→

BM 3

5

−−→

BA=−−→

BM

(b) En traduisant l'égalité vectorielle ci-dessus, déterminer les coordonnées du point M.

An de déterminer les coordonnées, on calcule les coordonnées des vecteurs −−→

BAet−−→

BM.

−−→ BA

xA−xB yA−yB

=

3−2

−2 + 4

= 1

2

−−→

BM

xM −xB yM −yB

=

xM −2 yM + 4

1

(2)

Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Jeudi 12/10/2017

−−→BM

xM −2 yM + 4

= 3 5

−−→ BA

1 2





xM −2 = 3 5 yM + 4 = 6 5





xM = 13 5 yM = −14

5

⇒M 13

5 ; −14 5

2. Déterminer les coordonnées du point C tel que le quadrilatère ABJ C soit un parallélogramme.

ABJC est un parallélogramme ⇔−−→ BA=−→

J C −−→ BA

1 2

−→

J C

xC−xJ

yC−yJ

= xC

yC−1

−−→ BA=−→

J C ⇔

(1 = xC 2 = yC−1 ⇔

(xC = 1

yC = 3 ⇒C(1 ; 3) 3. (a) Déterminer une équation cartésienne de la droite(AB).

−−→

BAest un vecteur directeur de(AB)donc(AB) : 2x−y+c= 0. Nous avons aussiA(3 ; −2)∈(AB)donc on obtient l'équation :

2xA−yA+c= 0 2×3 + (−1)×(−2) +c= 0 8 +c= 0

c=−8

⇒(AB) : 2x−y−8 = 0.

(b) En déduire une équation réduire de la droite(AB). 2x−y−8 = 0

⇔ −y= 8−2x

⇔ y= 2x−8

(c) Le point D(111 ; 211)appartient-il à la droite (AB)? Justier.

D(111 ; 211)∈(AB) ⇔ 2xD−yD −8 = 0

2×111−211−8 = 36= 0⇒D(111 ; 211) 6∈(AB)

4. (a) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite(AC), puis en déduire une équation cartésienne de (AC).

−→AC

xC−xA yC−yA

=

1−3 3 + 2

= −2

5

Comme −→

AC est un vecteur directeur de la droite (AC),(AC) : 5x + 2y + c= 0. Et comme A(3 ; −2)∈ (AC) :

5×3 + 2×(−2) +c= 0 15−4 +c= 0

c= (−11)

⇒(AC) : 5x+ 2y−11 = 0

(b) Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant par I et parallèle à la droite (AC). Comme (AC)// d,−→

AC, vecteur directeur de la droite (AC) est aussi vecteur directeur de la droited. Ainsi 2

(3)

Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Jeudi 12/10/2017

d: 5x+ 2y+c= 0. De plus,I(1 ; 0)∈d⇔

5×1 + 2×0 +c= 0 5 +c= 0

c=−5

⇒d : 5x+ 2y−5 = 0.

5. Déterminer, en justiant, les coordonnées du pointK intersection des droites(IJ) et(AB). On détermine une équation cartésienne de (IJ). −→

IJ

xJ −xI yJ −yI

=

0−1 1−0

= −1

1

⇔ (IJ) : x+y+c = 0 I(1 ; 0)∈(IJ)⇒

1 + 0 +c= 0 c=−1

⇒(IJ) :x+y−1 = 0

Trouver les coordonnées du point K intersection des deux droites revient à trouver les valeurs de x et y tels qu'elles vérient les équations des deux droites :

(x+y−1 = 0 2x−y−8 = 0 3x−9 = 0 3x= 9 x= 3

x+y−1 = 0 3 +y−1 = 0 y+ 2 = 0

y=−2

⇒K(3 ; −2) =A

3

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