Quentin DE MUYNCK 1èreS2 Jeudi 12/10/2017
Devoir à la Maison 2
1. Dans un repère orthonormé(O;I, J), on considère les points :A(3 ; −2)etB(2 ; −4).
Soit M(x; y) le point tel que :2−−→
M B+ 3−−→
M A=~0.
O(0 ; 0), I(1 ; 0) et J(0 ; 1). Les coordonnées données sont exprimées dans la base (I, J). (a) À l'aide de la relation de Chasles, établir que : −−→
BM = 3 5
−−→
BA. Construire alors le pointM.
1ère méthode 2ème méthode
−−→BM = 3 5
−−→ BA
−−→BM = 3 5
−−→
BM +−−→
M A
−−→BM = 3 5
−−→BM+ 3 5
−−→M A
−−→BM −3 5
−−→BM−3 5
−−→M A=~0 2
5
−−→BM−3 5
−−→M A=~0 2−−→
BM −3−−→
M A=~0
−2−−→
M B−3−−→
M A=~0 2−−→
M B+ 3−−→
M A=~0
2−−→
M B+ 3−−→
M A=~0
−2−−→
M B−3−−→
M A=~0 2−−→
BM −3−−→
M A=~0 3−−→
BM −3−−→
M A=−−→
BM 6−−→
BM −3−−→
BM −3−−→
M A=−−→
BM 6−−→
BM−3−−→
BA=−−→
BM
−3−−→
BA=−5−−→
BM 3
5
−−→
BA=−−→
BM
(b) En traduisant l'égalité vectorielle ci-dessus, déterminer les coordonnées du point M.
An de déterminer les coordonnées, on calcule les coordonnées des vecteurs −−→
BAet−−→
BM.
−−→ BA
xA−xB yA−yB
=
3−2
−2 + 4
= 1
2
−−→
BM
xM −xB yM −yB
=
xM −2 yM + 4
1
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−−→BM
xM −2 yM + 4
= 3 5
−−→ BA
1 2
⇒
xM −2 = 3 5 yM + 4 = 6 5
⇔
xM = 13 5 yM = −14
5
⇒M 13
5 ; −14 5
2. Déterminer les coordonnées du point C tel que le quadrilatère ABJ C soit un parallélogramme.
ABJC est un parallélogramme ⇔−−→ BA=−→
J C −−→ BA
1 2
−→
J C
xC−xJ
yC−yJ
= xC
yC−1
−−→ BA=−→
J C ⇔
(1 = xC 2 = yC−1 ⇔
(xC = 1
yC = 3 ⇒C(1 ; 3) 3. (a) Déterminer une équation cartésienne de la droite(AB).
−−→
BAest un vecteur directeur de(AB)donc(AB) : 2x−y+c= 0. Nous avons aussiA(3 ; −2)∈(AB)donc on obtient l'équation :
2xA−yA+c= 0 2×3 + (−1)×(−2) +c= 0 8 +c= 0
c=−8
⇒(AB) : 2x−y−8 = 0.
(b) En déduire une équation réduire de la droite(AB). 2x−y−8 = 0
⇔ −y= 8−2x
⇔ y= 2x−8
(c) Le point D(111 ; 211)appartient-il à la droite (AB)? Justier.
D(111 ; 211)∈(AB) ⇔ 2xD−yD −8 = 0
2×111−211−8 = 36= 0⇒D(111 ; 211) 6∈(AB)
4. (a) Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite(AC), puis en déduire une équation cartésienne de (AC).
−→AC
xC−xA yC−yA
=
1−3 3 + 2
= −2
5
Comme −→
AC est un vecteur directeur de la droite (AC),(AC) : 5x + 2y + c= 0. Et comme A(3 ; −2)∈ (AC) :
5×3 + 2×(−2) +c= 0 15−4 +c= 0
c= (−11)
⇒(AC) : 5x+ 2y−11 = 0
(b) Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant par I et parallèle à la droite (AC). Comme (AC)// d,−→
AC, vecteur directeur de la droite (AC) est aussi vecteur directeur de la droited. Ainsi 2
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d: 5x+ 2y+c= 0. De plus,I(1 ; 0)∈d⇔
5×1 + 2×0 +c= 0 5 +c= 0
c=−5
⇒d : 5x+ 2y−5 = 0.
5. Déterminer, en justiant, les coordonnées du pointK intersection des droites(IJ) et(AB). On détermine une équation cartésienne de (IJ). −→
IJ
xJ −xI yJ −yI
=
0−1 1−0
= −1
1
⇔ (IJ) : x+y+c = 0 I(1 ; 0)∈(IJ)⇒
1 + 0 +c= 0 c=−1
⇒(IJ) :x+y−1 = 0
Trouver les coordonnées du point K intersection des deux droites revient à trouver les valeurs de x et y tels qu'elles vérient les équations des deux droites :
(x+y−1 = 0 2x−y−8 = 0 3x−9 = 0 3x= 9 x= 3
x+y−1 = 0 3 +y−1 = 0 y+ 2 = 0
y=−2
⇒K(3 ; −2) =A
3
