D257. L'aire du décagone
Calculer l’aire d’un décagone qui est inscrit dans un cercle et qui a cinq côtés consécutifs de longueur égale au nombre d’or et les cinq autres côtés de longueur égale à l’inverse de ce nombre d’or.
Solution de Bernard Grosjean
Le décagone de l'énoncé comporte 5 côtés de longueur φ = (1+√5)/2 = 1,618 u (nombre d'or) et de 5 côtés de longueur 1/ φ = (√5 – 1)/2 = φ – 1 = 0,618 u.
L'aire de ce décagone ne change pas si l'on modifie la répartition de ces 10 côtés.
Soit a la longueur d'un côté du pentagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon R Ce côté correspond à un arc de 2π/5 = 72°
Il suffit, pour répondre à la question, d'ajouter à l'aire du pentagone régulier celle de 5 triangles de côtés : φ, (1- φ) et a (voir sur la figure le triangle A2, B2, C2).
1°) Calcul du triangle A2, B2, C2
Nous connaissons : côté C2-A2 = φ = (1+√5)/2 = 1,618 u
côté A2-B2 = 1/ φ = (√5 – 1)/2 = φ – 1 = 0,618 u angle A2 = 4π/5 = 144°
Nous avons : côté C2-B2 = a
a2 = φ2 + 1/φ2 – 2φ(1/φ)cos(4π/5) = 3 – 2cos(4π/5) = 4,618 u2 a = 2,14896 u
aire triangle : S
1= (1/2)(φ)(1/ φ)sin (4π/5) = (1/2)sin( 4π/5)
2°) Aire du pentagone régulier de côté a
Nous savons que cette aire, dont le calcul ne présente pas de difficulté, est : S2 = (5/4)(a2)cot(π/5)
aire du pentagone régulier : S
2= (5/4)[3 – 2cos(4π/5)]cot(π/5)
En définitive, l'aire du décagone recherchée est :
S = 5S
1+ S
2= (5/2)sin( 4π/5) + (5/4)[3 – 2cos(4π/5)]cot(π/5)
soit :
S = 1,4694 + 7,9452 = 9,4147 u
2Remarque : le rayon du cercle circonscrit au décagone est donné par : R2 = (3 + φ)/[4sin2(π/5)], soit : R = 1,828 u
