D20598. De l’octogone au carré
Cet octogone, convexe et inscrit dans un cercle, a quatre côtés consécutifs de longueur aet quatre côtés consécutifs de longueurb(aetbentiers).
– Montrer que son aire S est de la formeA+B√
2, avec A et B entiers, et que l’entier A+B est un carré parfait.
– Montrer que le carré du diamètre du cercle s’écrit également sous la formeC+D√
– Montrer que la surface située entre un carré circonscrit au cercle et2.
l’octogone inscrit a pour aire un entier somme de deux carrés.
– Montrer qu’en choisissant bien le carré circonscrit cette surface peut être constituée de deux heptagones identiques à un retournement près.
Solution
On ne change pas l’aire en intervertissant l’ordre des côtés ; faisant alterner les côtés a et les côtés b, chaque médiatrice de côté est un axe de symé- trie, les 8 angles sont égaux et valent 135°. Complétant l’octogone par 4 triangles rectangles isocèles d’hypoténuse b, on obtient un carré de côté a+b√
2, d’où l’aireS = (a+b√
2)2−b2=a2+b2+ 2ab√
2,A=a2+b2, B = 2ab, etA+B = (a+b)2.
Deux côtés adjacents aet b formant un angle 135° occupent un quart de la circonférence, et la corde qui les sous-tend a pour longueur d/√
2, sid est le diamètre. Alorsd2/2 =a2+b2+ab√
2, etd2 = 2A+B√
2. Le carré circonscrit au cercle a pour aire d2, soitS augmentée deA=a2+b2. Enfin, revenant à l’octogone de l’énoncé, celui-ci admet pour axe de sy- métrie le diamètre qui laisse de chaque côté deux côtés a et deux côtés b; plaçant le carré circonscrit pour qu’il admette ce diamètre pour média- trice, l’aire S est formée par deux heptagones symétriques l’un de l’autre, de côtés a, a, b, b, d/2, d, d/2.
