D170 : Le triangle de Sierpinski
Déterminer pour chaque valeur de n : - le nombre de triangles gris dans Tn ; - le nombre de triangles blancs dans Tn ; - le périmètre de Tn, en fonction du périmètre p de T ; - la surface de Tn, en fonction de la surface s de T.
Déterminer, pour un point de coordonnées (p ; q ; r), où p + q + r = 1, à quelle condition il appartient au triangle TS de Sierpinski.
Pour montrer que p+q+r=1, il suffit de calculer l’aire du triangle PQR comme somme de celles des triangles AQR, ARP, APQ, chaque aire étant égale au produit de la hauteur par le demi-coté, qui reste le même puisque le triangle est équilatéral.
A l’étape 0, il y a un triangle gris et pas de triangle blanc; quand on passe de l’étape n à l’étape n+1, chaque triangle gris engendre trois triangles gris et un triangle blanc. Le nombre de triangles gris est donc g(n)=3n , et le nombre de triangles blancs b(n) vérifie b(n+1)=b(n)+g(n), soit b(n)=(3n-1)/2.
Le périmètre de T1 est p1=3p/2, celui de Tn est pn=3np/2n . De même, la surface de T1 est s =3s/4, la surface de Tn est sn =3ns/4n . Lorsque n tend vers l’infini, la surface tend vers zéro, tandis que le périmètre tend vers l’infini.
A chaque étape, les nouveaux triangles se déduisent des triangles précédents par des homothéties, de centre P, Q ou R et de rapport 1/2. Donc 1-pn+1=(1-pn)/2, pn+1=(1+pn)/2 qn+1=qn/2 rn+1=rn/2, ou les relations similaires obtenues en permutant p, q, r.
On en déduit, par récurrence, que la condition pour qu’un point appartienne au triangle de Sierpinski est que pn=(2k+1)/2n (où 0≤2k+1<2n), avec 2nqn et (donc) 2nrn compris entre 0 et 1 modulo 2, ou une relation similaire obtenue en permutant p, q, r .
La condition est vérifiée pour n=1, puisque p=1/2 et 2(q+r)=1 donc 2q et 2r sont compris entre 0 et 1.
Si pn=(2k+1)/2n, et que l’homothétie est de centre P, pn+1=(2n+2k+1)/2n+1, et 2n+2k+1 est bien un nombre impair, inférieur à 22n+1, 2n+1qn+1=2nqn, et 2n+1rn+1=2nrn.
Si l’homothétie est de centre Q (ou R), pn+1=(2k+1)/2n+1, qn+1=(1+qn)/2, donc 2n+1qn+1=2n+2nqn qui est égal à 2nqn modulo 2, et 2n+1rn+1=2nrn.
