E334 – Les triangles impossibles [*** à la main]
Après avoir choisi un point M à l’intérieur du côté BC d’un triangle équilatéral ABC et tracé la projection du point B en O sur la demi-droite AM, Zig s’adresse à Puce en ces termes:
« Le rapport r₁ de la plus grande distance à la plus petite distance qui séparent M des deux points B et C ainsi que le rapport r₂ = aire du triangle ABC / aire du triangle BOC sont deux entiers. Je te donne la seule valeur de r₂. Quelle est la valeur de r₁ ? »
Puce (après quelques minutes de réflexion) : « Je ne sais pas répondre »
Zig : « Tu as raison. Sache que le rapport r₃ = aire du triangle MAB/ aire du triangle MOC est encore un nombre entier »
Puce : « Maintenant, je sais répondre ».
Déterminer le rapport r₄ = aire du triangle MAC / aire du triangle MOB.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Soit H le pied de la hauteur issue de A et milieu de BC. Et soit α l’angle entre AM et AH qui détermine le point M. Si la longueur du côté du triangle équilatéral est 1, on a HM qui vaut
√3/2* tg(α) ou √3/2*t avec t= tg(α)
On a donc si M est entre H et B, CM/BM qui vaut (1+√3*t)/( 1-√3*t). Ce rapport est entier et vaut r1 , ce qui donne t= (√3/3)*(r1-1)/(r1+1)
Le rapport des aires du triangle ABC au triangle BOC, est égal au rapport entre AH et la hauteur abaissée de O sur BC, soit Oh. L’angle BO, BM étant également égal à α, on a BO qui vaut (1-√3*t)*cos(α )/2 et Oh =(1-√3*t)*cos(α )* sin(α )/2.
On a donc AH/Oh=√3 /(( 1-√3*t)* cos(α )* sin(α )). On a cos(α )* sin(α ) qui vaut tg(α )/(1+
tg(α )^2) ou t /(1+t^2). D’où r2=√3*(1+t^2)/t*(1-t*√3). En remplaçant t par sa valeur en fonction de r1, soit t=(√3/3)*(r1-1)/(r1+1), on obtient en développant l’expression suivante : r2 =6*(r1^2+r1+1)/(r1-1). Les facteurs premiers de R1-1 doivent donc diviser soit 6 soit (r1^2+r1+1). On voit que r1-1 ne peut diviser (r1^2+r1+1) soit (r1-1)^2 +3*r1 que si r1-1 divise 3. On a donc comme facteurs premiers de r1-1 : 3 et les deux facteurs premiers de 6.
On a donc les 6 possibilités suivantes pour r1-1 : 1, 2, 3 , 6, 9, 18 soit r1 =2,3,4,7,10,19 ce qui donne respectivement pour r2 : 42, 39, 42, 57 ,74, 127.
Compte tenu de l’énoncé la seule valeur de r2 ambigüe pour r1 est 42, donc r1 vaut soit 2 soit 4.
Il nous faut donc calculer l’aire de MAB et MOC.
On 2 Aire(MAB)= (1-√3*t)*√3/4
2 Aire (MOC)= (1+√3*t)* (1-√3*t)*t/(4*(1+t^2))= (1-3*t^2)*t/((4*(1+t^2))
Avec r1=2, t=√3/9, 2 A(MAB)= √3/6 et 2 A(MOC)= √3/42, d’où A(MAB)/A(MOC)=7 Par contre avec r1=4 on a t=√3/5, 2A(MAB)= √3/10 et 2A(MOC)= √3/35. D’où
A(MAB)/A(MOC)=7/2.
Donc r1=2, r2=42
Enfin on a 2A(MAC)=(1+√3*t)* √3/4 et 2A(MOB)= ((1-√3*t)^2)*t/((4*(1+t^2)). Avec t=√3/9 on obtient 2A(MAC)= √3/3 et 2A(MOB)= √3/84 d’où A(MAC)/A(MOB)= 28.
