Après avoir choisi un point M à l’intérieur du côté BC d’un triangle équilatéral ABC et tracé la projection du point B en O sur la demi-droite AM, Zig s’adresse à Puce en ces termes:
« Le rapport r₁ de la plus grande distance à la plus petite distance qui séparent M des deux points B et C ainsi que le rapport r₂ = aire du triangle ABC / aire du triangle BOC sont deux entiers. Je te donne la seule valeur de r₂. Quelle est la valeur de r₁ ? »
Puce (après quelques minutes de réflexion) : « Je ne sais pas répondre »
Zig : « Tu as raison. Sache que le rapport r₃ = aire du triangle MAB/ aire du triangle MOC est encore un nombre entier »
Puce : « Maintenant, je sais répondre ».
Déterminer le rapport r₄ = aire du triangle MAC / aire du triangle MOB.
En prenant comme coordonnées ( triangle de coté unité) : A(0,√3/2), B(-1/2, 0), C(1/2, 0), M(t, 0), O(x, y), on écrit que B se projette en O sur AM :
t(x+1/2)=y√3/2, et x√3/2=t(√3/2-y), ty=(t-x)√3/2 ; donc t2(x+1/2)=3(t-x)/4 soit x=t(3-2t)/(3+4t2), y=√3t(2t+1)/(3+4t2) ; on en déduit
r1=(1+2t)/(1-2t) si 0≤t<1/2 ou r1=(1-2t)/(1+2t) si -1/2<t<0 : t=±(r1-1)/2(r1+1) r2=√3/y=(3+4t2)/t(2t+1) en valeur absolue
Comme aire MAB=(2t+1)√3/8, et aire MOC=y(1-2t)/4=(1-4t2)√3t/4(3+4t2) r3=(3+4t2)/2t(1-2t) en valeur absolue
Enfin, aire MAC=(1-2t)√3/8, aire MOB=y(1+2t)/4=(1+2t)2√3t/4(3+4t2) donc r4=(1-2t)(3+4t2)/2t(1+2t)2en valeur absolue.
Pour t=-1/6 et t=-3/10, r2=14, alors que r1 vaut respectivement 2 et 4 ; mais les valeurs de r3 sont 7 et 3,5 : la première est donc seule admissible, et r4=28.
