• Aucun résultat trouvé

Le triangle isoc`ele A0BC (A0B = A0C) donne donc un rapport plus petit que le triangle ABC, de la quantit´e 2AA02/S

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Le triangle isoc`ele A0BC (A0B = A0C) donne donc un rapport plus petit que le triangle ABC, de la quantit´e 2AA02/S"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

Enonc´e noD181 (Diophante) Une valeur plancher

Probl`eme propos´e par Dominique Roux d’apr`es olympiades internationales de math´ematiques

D´emontrer que dans tout triangle le rapport de la somme des carr´es des cˆot´es `a l’aire du triangle est toujours sup´erieur ou ´egal `a une constante k que l’on d´eterminera. Quelle est la nature du triangle en cas d’´egalit´e ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soit ABC le triangle, M le milieu de BC, A0 la projection de A sur la m´ediatrice de BC.

Comparons les rapports de l’´enonc´e pour ABC etA0BC : ces triangles ont mˆeme aire S, ayant mˆeme base BC et des hauteurs ´egales `a M A0. Par la formule de la m´ediane et Pythagore

AB2+AC2 = 2AM2+BC2/2 = 2AA02+ 2A0M2+BC2/2 =

=A0B2+A0C2+ 2AA02.

Le triangle isoc`ele A0BC (A0B = A0C) donne donc un rapport plus petit que le triangle ABC, de la quantit´e 2AA02/S.

Dans le triangle qui donne le plus petit rapport (=k), il n’y a pas de cˆot´es in´egaux, le triangle est ´equilat´eral. Siaest son cˆot´e, son aire estS =a2√

3/4, d’o`u le rapportk= 3a2/S = 4√

3.

1

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 64.10 KB )

Documents relatifs

Dans le triangle ABC : a

Quel est l’orthocentre du

Construis le symétrique du triangle ABC par rapport au point B

Construis le symétrique du triangle ABC par rapport au point B.. On l'appelle

4) Soit ABC un triangle du plan euclidien, qui est isoc`ele en C

6) L’image d’un triangle isoc` ele par une similitude du plan euclidien est-elle tou- jours un triangle isoc` ele ?. 7) L’image d’un triangle isoc` ele par une application

Le centre de l’autre est sym´etrique par rapport `a la droite (AB), et se trouve donc `a l’ext´erieur du triangle

Universit´ e Paris Diderot G´ eom´ etrie affine et euclidienneF. Licence de Math´ ematiques Ann´

Le triangle AEP rectangle en E est donc une demi triangle équilatéral

Les triangles ACF et CBP qui ont deux côtés égaux (AC=CB, CF=CP) et le même angle (ACF = BCP=60° - ACP) compris entre les deux côtés sont égaux.. Il en résulte que AF=5 et que le

Probl`eme D131 Dans un triangle ABC (non isoc`ele), je d´efinis A0 et

Il suffira de choisir tan(A/4) et tan(B/4) rationnels, il en sera de mˆ eme pour tan(C/4) car A + B + C = π, pour construire un triangle o` u les cˆ ot´ es, les segments de l’´

On désigne par S l'aire du triangle ABC et S' celle du triangle A'B'C'

L'aire du triangle A'B'C' peut se calculer en additionnant celles des triangles A'HB', B'HC', C'HA', dont on connaît les côtés et les angles. Par permutation circulaire, il vient :

Le triangle de Maurice d'Ocagne Soit le triangle ABC, et D, E, F les pieds des hauteurs issues de A, B, C

Soit le triangle ABC, et D, E, F les pieds des hauteurs issues de A, B, C. Q1 Montrer que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables. Déterminer le rapport BC/B'C'. Solution