D1813 ‒ Un encadrement
Problème proposé par Dominique Roux
Soit un triangle ABC acutangle. Les points A', B' et C' sont les symétriques des sommets A,B et C par rapport aux côtés BC,CA et AB. On désigne par S l'aire du triangle ABC et S' celle du triangle A'B'C'.
Trouver le plus grand nombre a et le plus petit nombre b tels que la double inégalité : aS ≤ S' ≤ bS est toujours vraie.
Solution par Patrick Gordon
Posons 2R = 1, pour ne raisonner que sur les angles.
L'aire du triangle ABC est : S = ½ sinA sinB sinC
L'aire du triangle A'B'C' peut se calculer en additionnant celles des triangles A'HB', B'HC', C'HA', dont on connaît les côtés et les angles.
En effet, HA', par exemple, est la somme de la hauteur AA", qui vaut sinB sinC et de sa "partie basse" HA", qui vaut cosB cosC. D'où :
HA' = cos(B–C).
Par permutation circulaire, il vient : HB' = cos(C–A).
Or l'angle A'HB' vaut C, d'où l'aire du triangle A'HB' :
½ cos(B–C) cos(C–A) sin C
Par permutation circulaire et en additionnant, on obtient l'aire du triangle A'B'C' :
S' = ½ [cos(B–C) cos(C–A) sin C + cos(C–A) cos(A–B) sin A + cos(A–B) cos(B–C) sinB En comparant les deux expressions S et S' au moyen d'un tableur, on constate que :
- S' / S est maximal (= 4) quand le triangle ABC est équilatéral - S' / S est minimal (= 3) quand le triangle ABC est rectangle.
Donc 3 ≤ S' / S ≤ 4 et par conséquent : a = 3
b = 4
