D170 - Le triangle de Sierpinski

D170 - Le triangle de Sierpinski

Louis ROGLIANO

Problème proposé par Pierre Jullien.

Nombre de triangles gris dansT_n:

Une récurrence évidente : N(T G₀) = 1etN(T G_n) = 3N(T G_n−1)nous montre que:

N(T G_n) = 3ⁿ Nombre de triangles blancs dansT_n:

Nous avons la récurrence : N(T B₀) = 0etN(T B_n) = N(T B_n−1) +N(T G_n−1)d’où le résultat:

N(T B_n) = 3ⁿ−1 2 Périmètre deT_n:

Dans la figureT_n, un triangle gris a pour périmètre la moitié du périmètre d’un triangle gris de la figure T_n−1, donc:

P(T G_n) = ( 3

2 )n

p Surface deT_n:

Dans la figureT_n, un triangle gris a pour surface le quart de la surface d’un triangle gris de la figureT_n−1, donc:

S(T G_n) = ( 3

4 )n

s

Relations entre les coordonnées:

Un pointAest dans le triangleT Ssi et seulement si il existe une suite infinie de triangles grisP_nQ_nR_n qui le contienne. Les distances deA aux côtés d’un tel triangle sont toutes inférieures à sa hauteur qui est égale à 1

2ⁿ. A la limite, quand n tend vers l’infini, cette hauteur tend vers0 et il en est de même des trois distances. Ase trouve donc à l’intersection de trois segments parallèles au côtés du triangle P QRet dont les distances aux côtésP Q,QRetRP sont de la forme a_i

2ⁿⁱ. Les coordonnées triangulaires des points deT S sont donc exprimées par:

p= a₁

2ⁿ¹ ,q= a₂

2ⁿ² ,r = a₃

2ⁿ³ a₁, a₂, a₃, n₁, n₂, n₃étant des entiers etp+q+r= 1. 1