CHAPITRE 11

(1)

CHAPITRE 11

ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

I Rappels . . . . 3

I.1 Ensembles usuels de nombres. . . . 3

I.2 Majorant, minorant, plus grand élément, plus petit élément . . . . 4

II Propriété de la borne supérieure . . . . 6

II.1 Borne supérieure, borne inférieure . . . . 6

II.2 Caractérisation de la borne supérieure . . . . 8

III Conséquences. . . . 10

III.1 Existence de la partie entière . . . . 10

III.2 Intervalles deR . . . . 12

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Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

a) Propriété de la borne supérieure

Borne supérieure (resp. inférieure) d’une partie deR^. Notations supX, infX.

Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) deR^{admet une} borne supérieure (resp. inférieure).

On convient que supX= +∞siXest non majorée.

Une partieXdeRest un intervalle si et seulement si pour tousa, b∈Xtels queaÉb, [a,b]⊂X.

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ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS I. RAPPELS

I. Rappels

I.1. Ensembles usuels de nombres

Notation 11.1 – Ensembles usuels de nombres On note :

Ï Nl’ensemble des entiers naturels :N=©

0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .ª . Ï Zl’ensemble des entiers relatifs :Z=©

...,−2,−1, 0, 1, 2, . . .ª . Ï Dl’ensemble des nombres décimaux :D=n p

10ⁿ

¯

¯p∈Z^etⁿ∈N^o. Il s’agit de l’ensemble des nombres admet- tant une écriture décimale composée d’une nombre fini de chiffres après la virgule.

Ï Ql’ensemble des nombres rationnels :Q=

½p

q

¯

¯p∈Z^et^q∈N^?

¾ .

On admet le résultat surN^suivant.

Théorème 11.1

1. Toute partie non videNadmet un plus petit élément.

2. Toute partie non vide et majorée deNadmet un plus grand élément.

3. Nn’est pas majoré.

La construction deRest hors programme, on se contente d’une construction géométrique.

Définition 11.1 – Droite numérique

Considérons une droiteD qu’on munit d’une origine Oet dirigée par un vecteur non nul~ı. Le choix de ce vecteur dirige la droite (on parcourt l’axeDde « gauche à droite »).

O M

N A

~ı D

On noteAl’unique point deDtel que−−→

O A=~ı. On convient que la longueurO Aest égale 1 (on dit que le vecteur

~ıest unitaire).

La droiteDest appeléedroite numérique.

SoitM un point de la droiteD. La position deM est déterminée par : Ï la longueurOM;

Ï le sens du vecteur−−→

OM.

On note :

OM=

( OM si les vecteurs−−→

OMet~ısont de même sens ;

−OM si les vecteurs−−→

OMet~ıne sont pas de même sens.

On dit queOM est l’abscisse du pointM.

L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscissesOMlorsqueMparcourt la droiteD. Par abus, siMetN sont les points deDd’abscisses respectives xety, on écrira aussi :

0 x

y 1

Notation 11.2 – Ensemble des nombres réels L’ensemble des nombres réels est notéR^.

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I. RAPPELS ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

On a les inclusions strictes :N⊂Z⊂D⊂Q⊂R^. Remarque 11.1

Définition 11.2 – Nombre irrationnel On dit qu’un nombre réel est irrationnel lorsqu’il n’appartient pas àQ^. On noteR^\Q^{(lire «}R^{privé de}Q») l’ensemble des nombres irrationnels.

Les nombres p

2,_πetesont irrationnels.

Exemple 11.1

I.2. Majorant, minorant, plus grand élément, plus petit élément

Définition 11.3 – Majorant, minorant SoitAune partie deR^.

ÏSoit M∈R. On dit que M est un majorant de A lorsque, pour tout x∈A, on a xÉM. Ce qu’on écrit :

∀x∈A,xÉM.

ÏSoit m∈R. On dit que m est un minorant de A lorsque, pour tout x∈ A, on a mÉx. Ce qu’on écrit :

∀x∈A,mÉx.

Définition 11.4 – Partie majorée, partie minorée, partie bornée SoitAune partie deR^.

ÏOn dit que Aestmajoréelorsqu’il existeM un majorant deA.

Autrement dit, il existeM∈Rtel que, pour toutx∈A, on axÉM. Ce qu’on écrit :∃M∈R^,∀x∈A,xÉM.

ÏOn dit que Aestminoréelorsqu’il existemun minorant deA.

Autrement dit, il existem∈Rtel que, pour tout x∈A, on amÉx. Ce qu’on écrit :∃m∈R^,∀x∈A,mÉx.

ÏOn dit que Aestbornéelorsqu’elle est minorée et majorée.

Autrement dit, il existe (m,M)∈R²tel que, pour tout x∈A, on amÉxÉM.

Ce qu’on écrit :∃(m,M)∈R²^,∀x∈A,mÉxÉM.

Proposition 11.1 SoitAune partie deR^.

La partieAest bornée si, et seulement si :

∃C∈R+,∀x∈A,|x| ÉC.

Définition 11.5 – Maximum, minimum SoitAune partie deR^.

ÏOn dit que Apossède un maximumou unplus grand élémentlorsqu’il existe M∈A un majorant de A.

Lorsqu’un tel élément existe, il est unique et on le note max(A) ou maxA.

ÏOn dit que A possède un minimum ou un plus petit élément lorsqu’il existe m∈A un minorant de A.

Lorsqu’un tel élément existe, il est unique et on le note min(A) ou minA.

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ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS I. RAPPELS

Il peut exister plusieurs majorants ou minorants d’une partie, on utilise l’article indéfini « un » pour désigner ces objets.

Cependant, une partie ne peut posséder qu’un seul maximum ou minimum. On utilise alors l’article défini « le » pour désigner ces objets.

Remarque 11.2

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II. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

II. Propriété de la borne supérieure

II.1. Borne supérieure, borne inférieure

On considère A=[0, 1[. L’ensembleAest majoré (par 2 ou 1 par exemple), mais, aucun élément de [0, 1[ ne majore [0, 1[. En effet, si x∈[0, 1[, alors x+1

2 ∈[0, 1[ etx<x+1 2 . Donc, l’ensembleAne possède pas de plus grand élément.

h h

0 1

x x+1

2

Cependant il apparaît que 1 joue un rôle particulier parmi tous les majorants de A: intuitivement, 1 est le plus petit des majorants de A.

Remarque 11.3 – Nécessité d’une nouvelle notion

Définition 11.6 – Borne supérieure, borne inférieure SoitAune partie deR^.

ÏOn appelleborne supérieure de Ale plus petit des majorants de A, s’il existe. Dans ce cas, un tel élément est unique et est noté sup(A) ou supA.

ÏOn appelleborne inférieure de Ale plus grand des minorants deA, s’il existe. Dans ce cas, un tel élément est unique et est noté inf(A) ou infA.

On note A=[0, 1[.

Ï Montrons que 1 est la borne supérieure deA. On sait déjà que 1 est un majorant de A.

Montrons que c’est le plus petit des majorants de A. Pour cela, on montre que tout réel strictement inférieur à 1 ne majore pas A. Soitx<1.

• Cas 1 :x<0. Comme 0∈A,xn’est pas un majorant deA.

• Cas 2 : 0Éx<1. Dans ce cas x+1

2 ∈Aetx<x+1

2 . Doncxn’est pas un majorant deA

Ainsi, tout réelx<1 n’est pas un majorant de A. Donc, 1 est le plus petit majorant deA. Donc, sup(A)=1.

Ï 0 est un élément de Aet est un minorant deA, c’est donc le plus petit élément deA: 0=min(A).

Exemple 11.2

Ï Lorsque sup(A) existe, sup(A) n’est pas nécessairement un élément de A. Il en est de même pour inf(A).

Ï L’unicité de la borne supérieure (respectivement borne inférieure) lorsqu’elle existe est une conséquence de l’unicité du plus petit élément (respectivement du plus grand élément) d’une partie.

Remarque 11.4

Proposition 11.2 SoitAune partie deR^.

ÏSi Apossède un plus grand élémentM, alorsM=sup(A).

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ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS II. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE

ÏSi Apossède un plus petit élémentm, alorsm=inf(A).

Démonstration

ÏOn suppose queApossède un plus grand élémentM. On noteEl’ensemble des majorants deA Pour toutx∈E, commeM∈A, on aMÉx. Donc,Mest un minorant deE.

De plus,Mest un majorant deA. Donc,M∈E.

Ainsi,Mest le plus petit élément deE. Donc,M=sup(A).

ÏOn suppose queApossède un plus petit élémentm. On noteEl’ensemble des minorants deA Pour toutx∈E, commem∈A, on axÉm. Donc,mest un majorant deE.

De plus,mest un minorant deA. Donc,m∈E.

Ainsi,mest le plus grand élément deE. Donc,m=inf(A).

Exercice 11.1

Pour chaque ensemble, préciser s’il possède une borne inférieure, une borne supérieure, un plus grand élément, un plus petit élément.

1. A₁={1}.

2. A₂={2, 3}.

3. A₃=]1, 5[.

4. A₄=]0, 1].

5. A₅=

½1

n

¯¯n∈N^?

¾ . 6. A₆=©

x∈Q^¯^¯xÉ0 oux²É2ª . Résolution

Théorème 11.2 – Théorème de la borne supérieure

ÏToute partie non vide et majorée deRpossède une borne supérieure.

ÏToute partie non vide et minorée deRpossède une borne inférieure.

Démonstration

Admis

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II. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

Notation 11.3 – Cas d’une partie non majorée ou non minorée SoitAune partie non vide deR^.

ÏLorsqueAn’est pas majorée, on pose sup(A)= +∞. ÏLorsqueAn’est pas minorée, on pose inf(A)= −∞.

Exercice 11.2

SoitAune partie non vide deR. On suppose qu’il existeM∈Rtel que, pour toutx∈A,xÉM.

Montrer que la borne supérieure deAexiste et que sup(A)ÉM.

Résolution

La partieAest non vide et majorée, donc la borne supérieure deAexiste.

De plus, par définition sup(A) est le plus petit majorant deA.

CommeMest un majorant deA, on a : sup(A)ÉM.

II.2. Caractérisation de la borne supérieure

Théorème 11.3 – Caractérisation de la borne supérieure SoientAune partie non vide et majorée deR^et^S∈R^.

On a les équivalences :

S=sup(A) ⇐⇒

½ Sest un majorant deA

Sest le plus petit des majorants deA

⇐⇒

Pour tout y<S, yn’est pas un majorant deA

⇐⇒

∀ε>0,∃x∈A,S−ε<x.

Démonstration

Il suffit de remarquer que «yn’est pas un majorant deA» est équivalent à «∃x∈A,y<x».

Ï Dans la dernière équivalence, l’élémentxpeut dépendre de_ε. Ï Visualisation du théorème : la zone hachurée est A.

¯

¯ S−ε S

a∈A

x∈A M majorant deA Remarque 11.5

Théorème 11.4 – Caractérisation de la borne inférieure SoientAune partie non vide et minorée deR^et^I∈R^.

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ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS II. PROPRIÉTÉ DE LA BORNE SUPÉRIEURE

On a les équivalences :

I=inf(A) ⇐⇒

½ Iest un minorant deA

Iest le plus grand des minorants de A

⇐⇒

Pour tout y>I, yn’est pas un minorant deA

⇐⇒

∀ε>0,∃x∈A,x<I+ε. Démonstration

Il suffit de remarquer que «yn’est pas un minorant deA» est équivalent à «∃x∈A,x<y».

Exercice 11.3

SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR^. On noteC=©

a+b¯

¯(a,b)∈A×Bª

.

Montrer que sup(A+B)=sup(A)+sup(B).

Résolution

ÏLes partiesAetBsont non vides et majorées, donc possèdent une borne supérieure.

ÏDe plus,Cest non vide.

ÏSoitc∈C. Par définition,c=a+boùa∈Aetb∈B.

De plus, par définition de borne supérieure :aÉsup(A) etbÉsup(B).

D’où,cÉsup(A)+sup(B).

Donc, sup(A)+sup(B) est un majorant deC.

On en déduit que la borne supérieur deCexiste et que sup(C)Ésup(A)+sup(B) ÏSoitε>0.

Par caractérisation de la borne supérieure, il existea∈Atel que sup(A)−ε

2<aetb∈Btel que sup(B)−ε 2<b.

D’où, en sommant les inégalités, sup(A)+sup(B)−ε<a+b. Donc, il existec=a+b∈Ctel que sup(A)+sup(B)−ε<c.

Ceci est vrai pour toutε>0.

ÏAinsi, par caractérisation de la borne supérieure, sup(A)+sup(B)=sup(C).

Dans l’exercice précédent, l’ensembleCest souvent noté A+B.Attention !Ce n’est qu’une notation.

Remarque 11.6

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III. CONSÉQUENCES ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS

III. Conséquences

III.1. Existence de la partie entière

Théorème 11.5 –Rest archimédien

Pour touta∈R, pour tout_ε>0, il existeN∈N^{tel que}ⁿ×ε>a.

Démonstration

Soita∈R^etε>0.

Montrons que :∃N∈N^,n×ε>a.

Pour cela, on raisonne par l’absurde en supposant que :∀N∈N^,ⁿ×εÉa.

ÏLa partieA={n×ε|n∈N}deRest alors majorée. De plus, en prenantn=0, on a 0∈A, donc,A,∅^. Par le théorème de la borne supérieure,Apossède une borne supérieure notées.

ÏPar la caractérisation de la borne supérieure,s−εne majore pasA.

Donc, il existey∈Atel ques−ε<y.

ÏOr, par définition deA, il existen₀∈N^{tel que}^y=n₀×ε. D’où,s−ε<n₀×ε.

Donc,s<(n₀+1)×ε.

Or,n₀+1∈N^{, donc (n}0+1)×ε∈A. Ce qui contredit le fait quesest un majorant deA. Absurde.

ÏAinsi, il existeN∈N^{tel que}ⁿ×ε>a.

Exercice 11.4

Soita∈]1,+∞[ etb∈R. Montrer qu’il existeN∈N^{tel que}^a^NÊb Démonstration

SoitnÊ2 un entier.

On noteε=a−1>0.

Par la formule du binôme de Newton, on a

aⁿ=(1+ε)ⁿ=1+n×ε+ n X k=2

Ãn k

! ε^k

| {z } Ê0

Ê1+n×ε.

Or,Rest archimédien, donc il existeN∈N^{tel que}^N×εÊb−1. Quitte à choisirNplus grand, on peut supposerNÊ2.

D’où,a^NÊ1+N×εÊb.

Théorème 11.6

Soitx∈R. Il existe un unique entierp∈Z^{tel que}

pÉx<p+1.

Démonstration

Existence:

Ï Cas 1:x∈Z. Dans ce casp=xconvient.

Ï Cas 2:x∉Z^et^xÊ0.

On noteA=©

k∈N|k>xª .

• Aest une partie deN^.

• On sait queRest archimédien, donc, en prenantε=1, il existeN∈N^{tel que}^N×1Êx. D’oùN+1>NÊx. Donc,N+1∈A.

Ainsi,Aest une partie non vide deN. Par théorème,Apossède un plus petit élément notéq.

Par définition deq,q−1∉A. Donc,q−1Éx<q.

Il suffit donc de choisirp=q−1.

Cas 2:x∉Z^et^x<0.

(11)

ENSEMBLE DES NOMBRES RÉELS III. CONSÉQUENCES

En appliquant ce qui précède à−x, il vient l’existence deqtel queq−1É −x<q. Donc,−q<xÉ −q+1.

Commexn’est pas entier,−q<x< −q+1. D’où,−qÉx< −q+1.

Il suffit donc de choisirp= −q.

Unicité: On suppose qu’il existep₁∈Z^et^p2∈Z^{tel que}^p1Éx<p₁+1 etp₂Éx<p₂+1.

D’où,−p₂−1< −xÉ −p₂.

Donc, en sommant les inégalités,−1<p₁−p₂<1.

Or,p₁−p₂est un entier, doncp₁=p₂.

Définition 11.7 – Partie entière ÏSoitx∈R^{. La}partie entièredexest l’unique entier notébxcvérifiant

bxc Éx< bxc +1.

ÏLa fonctionpartie entièreest la fonctionb·c: R → R x 7→ bxc.

On a :

b2c =2, b9, 7c =9, bπc =3, b−3, 5c = −4.

Exemple 11.3

Ï En retranchant 1 dans les inégalités de la définition, on a aussi : x−1< bxc Éx.

Ï Le graphe de la fonction partie entière est le suivant :

−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

−3

−2

−1 1 2 3 4

Fonction partie entière

Ï La fonction partie entière n’existe pas par défaut en Python. On la trouve dans le modulemath sous le nom floor(x).

LorsquexÊ0, l’expressionint(x)est bien la partie entière dex. C’est faux lorsquex<0.

Ï L’unique entiernvérifiantn−1<xÉnest appelépartie entière par excèsdenet est notédxe. Remarque 11.7

(12)

III.2. Intervalles deR

On rappelle que les intervalles deRsont les ensembles de forme suivantes :

(13)

Soit(a,b)∈R2 avecaÉb. NotationDéfinitionInterprétationgéométriqueOuvertFermé Semi-ouvert ou Semi-fermé

Extrémité inférieure

Extrémité supé- rieureNom [a,b]

¯ ¯aÉxÉb

ª

hi ababSegment ]a,b]

¯ ¯a<xÉb

ª

ii abab [a,b[

¯ ¯aÉx<b

ª

hh abab ]a,b[

¯ ¯a<x<bª

ih abab [a,+∞[

¯ ¯xÊa}

h aa+∞Demi-droite ]a,+∞[

¯ ¯x>aª

i aa+∞Demi-droite ]−∞,b]

¯ ¯xÉbª

i b−∞bDemi-droite ]−∞,b[

¯ ¯x<bª

h b−∞bDemi-droite ]−∞,+∞[R−∞+∞ Enprenanta=b,ona]a,b[=∅.L’ensemblevideestunintervalle.

Remarque11.8

(14)

Proposition 11.3 – Caractérisation des intervalles SoitI une partie deR^.

L’ensembleI est un intervalle deRsi, et seulement si, pour tout (x,y)∈I², avecxÉy, [x,y]⊂I. Démonstration

(⇒) On suppose queIest un intervalle deR^. Soit (x,y)∈I², avecxÉy. Montrons que [x,y]⊂I.

Il y plusieurs cas selon la forme de l’intervalleI.

Ï Cas 1 :I=∅. Il n’y a rien à faire.

Ï Cas 2 :I=[a,b] avecaÉbdes réels.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,x∈Iety∈I, doncaÉxetyÉb. D’où,aÉzÉb. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 3 :I=[a,b[ aveca<bdes réels.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,x∈Iety∈I, doncaÉxety<b. D’où,aÉz<b. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 4 :I=]a,b] aveca<bdes réels.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,x∈Iety∈I, donca<xetyÉb. D’où,a<zÉb. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 5 :I=]a,b[ aveca<bdes réels.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,x∈Iety∈I, donca<xety<b. D’où,a<z<b. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 6 :I=[a,+∞[ avecaun réel.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,x∈I, doncaÉx. D’où,aÉz. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 7 :I=]a,+∞[ avecaun réel.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,x∈I, donca<x. D’où,a<z. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 8 :I=]− ∞,b] avecbun réel.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,y∈I, doncyÉb. D’où,zÉb. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 9 :I=]− ∞,b[ avecbun réel.

Soitz∈[x,y]. On axÉzÉy. Or,y∈I, doncy<b. D’où,z<b. Donc,z∈I.

D’où [x,y]⊂I.

Ï Cas 10 :I=R. On a clairement [x,y]⊂I.

Dans tous les cas [x,y]⊂Iet ceci est vrai pour tout (x,y)∈I².

(⇐) On suppose que, pour tout (x,y)∈R²^{, avec}^xÉy, [x,y]⊂I. Montrons queIest un intervalle.

ÏSiIest vide, il n’y a rien à faire.

ÏDans la suite, on supposeInon vide.

On notea=

½ inf(I) siIest minoré

−∞ siIn’est pas minoré etb=

½ sup(I) siIest majoré +∞ siIn’est pas majoré.

Montrons que ]a,b[⊂I.

Soitz∈]a,b[. Montrons quezn’est pas un majorant deI.

• Sib= +∞, alorszn’est pas un majorant deIcarIn’est pas majoré.

• Sib∈R^{, alors}^z<b. Or,best le plus petit majorant deI. Donc,zne majore pasI.

Donc, il existey∈Itel quez<y.

De même,zn’est pas un minorant deI, donc, il existex∈Itel quex<z.

D’où,z∈[x,y].

Or, (x,y)∈I². Donc, [x,y]⊂I.

Or,x<z<y, doncz∈[x,y].

Donc,z∈I. Ainsi ]a,b[⊂I.

On distingue ensuite plusieurs cas : Ï Cas 1 :aetbréels

• Sous-cas 1 :a∈Ietb∈I.

Par définition des bornes supérieure et inférieure, pour toutz∈I,aÉzÉb. Donc,I⊂[a,b].

De plus, ]a,b[⊂Iet (a,b)∈I². Donc,I=[a,b]

• Sous-cas 2 :a∈Ietb∉I.

Par définition des bornes supérieure et inférieure, pour toutz∈I,aÉz<b. Donc,I⊂[a,b[.

De plus, ]a,b[⊂Ieta∈I. Donc,I=[a,b[.

(15)

• Sous-cas 3 :a∉Ietb∈I.

Par définition des bornes supérieure et inférieure, pour toutz∈I,a<zÉb. Donc,I⊂]a,b].

De plus, ]a,b[⊂Ietb∈I. Donc,I=]a,b].

• Sous-cas 4 :a∉Ietb∉I.

Par définition des bornes supérieure et inférieure, pour toutz∈I,a<zÉb. Donc,I⊂]a,b[.

De plus, ]a,b[⊂I. Donc,I=]a,b[.

Ï Cas 2 :aréel etb= +∞. Dans ce cas,b∉I.

• Sous-cas 1 :a∈I.

Par définition de la borne inférieure, pour toutz∈I,aÉz. Donc,I⊂[a,b[.

De plus, ]a,b[⊂Ieta∈I. Donc,I=[a,b[.

• Sous-cas 2 :a∉I.

Par définition de la borne inférieure, pour toutz∈I,a<z. Donc,I⊂]a,b[.

Ï Cas 2 :a= −∞etbréel. Dans ce cas,a∉I.

• Sous-cas 1 :b∈I.

Par définition de la borne supérieure, pour toutz∈I,zÉb. Donc,I⊂]a,b].

De plus, ]a,b[⊂Ietb∈I. Donc,I=]a,b].

• Sous-cas 2 :b∉I.

Par définition de la borne inférieure, pour toutz∈I,z<b. Donc,I⊂]a,b[.

Ï Cas 4 :a= −∞etb= +∞.

On a clairement,I⊂]a,b[. Donc,I=]a,b[.

Cette équivalence traduit le fait qu’un intervalle est une partie deR« sans trou ».

Remarque 11.9

Exercice 11.5

SoientI etJdeux intervalles deR. Montrer que I∩Jest un intervalle deR^. Résolution

Soit (x,y)∈(I∩J)².

On a : (x,y)∈I². Or,Iest un intervalle. Donc, [x,y]⊂I.

De même, [x,y]⊂J.

Donc, [x,y]⊂I∩J.

Ceci étant vrai pour tout (x,y)∈(I∩J)²,I∩Jest un intervalle deR^.

Pour traiter l’exercice avec la définitions d’intervalle donnée en début de paragraphe, il y a 81 cas à étudier ! Remarque 11.10