MPSI 2
Exercice 1 Nombres réels
1. Soitaetb deux réels tels que, pour tout réelxtel quex > b, on a a≤x. Montrera≤b.
2. Si la suite (un)n∈N a une limite `telle que, pour tout réel xtel que x > b, on a un ≤xà partir d’un certain rang, montrer`≤b.
3. Résoudre dansRl’équation p√
2−x2+ 1 =x.
4. Pour adansR+, donner l’ensemble des solutions de l’inéquationx−1 2 ≤
r
x+a2−3 4.
5. Montrer que les sous-ensembles suivants de Rsont non vides et majorés, donner leur borne supé- rieure et indiquer quand ils ont un plus grand élément.
[0; 1]∩Q, [
n∈N∗
− 1
2n;− 1 2n+ 1
{xy|(x, y)∈R2,||(x, y)||1≤1}, {xy|(x, y)∈R2,||(x, y)||1<1}
avec||(x, y)||1=|x|+|y|.
6. Soit A et B deux parties non vides de Rtelles que B ⊂A et A est majoré. Montrer que B est majoré et qu’on a supB≤supA.
7. SoitA etB deux parties non vides bornées deR. Montrer queA∪B est borné et sup(A∪B) = sup(supA,supB)et inf(A∪B) = inf(infA,infB).
8. Avec les hypothèses précédentes, montrer queA∩B est borné etsup(infA,infB)≤inf(A∩B)≤ sup(A∩B)≤inf(supA,supB). Donner des exemples où les inégalités sont strictes.
9. On rappelle que siAet B sont des sous-ensembles d’un groupe additif, on note A+B l’ensemble des éléments de la forme a+b avec (a, b)∈A×B. Montrer que siA et B sont des parties non vides majorées deR, on asup(A+B) = sup(A) + sup(B). Peut-on donner un analogue pourAB? 10. Soit(xn)n∈Net(xn)n∈Ndeux suites majorées de réels. Montrersup
n∈N
(xn+yn)≤ sup
n∈N
(xn)+ sup
n∈N
(yn) et donner un exemple où l’inégalité est stricte.
11. Soitf etgdeux fonctions croissantes de[0; 1]dans lui-même. On supposegsurjective,g(0)< f(0) et g(1)> f(1). Montrer que {x∈[0; 1]|g(x)< f(x)} admet une borne supérieureαet montrer g(α)≥f(α). En déduire que les graphes def et gont un point commun.
Exercice 2 Construction de polygones réguliers à la règle et au compas (*)
On cherche à construire l’angleαn = 2π/nà la règle et au compas, ou encoreexp(iαn).
1. On suppose n premier et on s’intéresse aux racines du polynômeΦn(X) =Xn−1+· · ·+X+ 1.
Exprimer les racines deΦ3 etΦ5 uniquement en extrayant des racines carrées.
2. On considèreΦ17. Montrer queek= exp(ikα17)parcourt les racines deΦ17 si1≤k≤16.
3. Montrer que 3 est d’ordre 16 modulo 17 et que, pour tout entierm,−3m≡3m+8mod 17.
4. On note xi =P
m≡imod 2e3m pour 0≤i≤1 et yi =P
m≡imod 4e3m pour 0 ≤i≤3. Exprimer lesxi et lesyi comme sommes de cosinus de multiples deα17.
5. Montrer quex0 etx1sont racines deX2+X−4 et quex0est la plus grande des racines.
6. Montrer quey0et y2 sont racines deX2−x0X−1 et quey0 est la plus grande des racines.
7. Montrer quey1et y3 sont racines deX2−x1X−1 et quey1 est la plus grande des racines.
8. Montrer que2 cos(α17)et 2 cos(4α17)sont racines deX2−y0X+y1 et en déduire
cos(α17) = −1 +√ 17 +p
34−2√ 17 +
q
68 + 12√
17−16p
34 + 2√
17−2(1−√ 17)p
34−2√ 17
16 .
9. Expliquer pourquoi cette méthode, dûe à Gauß, ne fonctionne que si nest un nombre premier de la forme2k+ 1. Montrer qu’alors nest un nombre de Fermat, i.e. de la formeFm= 22m+ 1.
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