TD 3: Fonctions convexes
Exercice 1. On rappelle qu'une fonction f :E →Rest sous-additive sif(x+y)≤f(x) +f(y) pour tout x, y∈E et positivement1-homogène sif(λx) =λf(x) pour tout λ≥0. Une fonction vériant ces deux propriétés est appelée sous-linéaire.
1 Montrer qu'une fonction sous-linéaire est convexe (Ainsi, toute norme surE est convexe.) Réciproque : montrer qu'une fonction convexe et positivement1-homogène est sous-linéaire.
2 SoitK un compact de E, etE∗ le dual topologique de E, c'est-à-dire l'espace des formes linéaires continues surE. On dénit la fonction support de K par1
hK :x∗∈E∗7→max
x∈Khx∗|xi.
Montrer que cette fonction est sous-linéaire.
3 Soitf une fonction convexe surE, etx∈dom(f). On considère g=f+(x, .). Montrer que g est sous-linéaire.
(Indication : pour la sous-additivité, utiliser x+ε(u+v) = x+2εu2 +x+2εv2 )
4 Soitg une fonction sous-linéaire telle que dom(g) =E et−g(v) =g(−v)pour tout v∈E. Montrer que g est linéaire.
Dénition 1. Une fonctionf sur un espace de Hilbert(H,kk) est diteα-fortement convexe (où α est une constante strictement positive) si
∀x, y∈dom(f),∀λ∈[0,1], α
2λ(1−λ)kx−yk2+f((1−λ)x+λy)≤(1−λ)f(x) +λf(y) (1) Une fonction vériant (1) avec α =−β <0 est diteβ-semiconvexe (c'est une hypothèse moins forte que la convexité).
Exercice 2. Soit (H,kk) un espace de Hilbert. Étant donné un fermé K de H, on note dX : H →Rla fonction distance à K, dénie pardK(x) = infz∈Kkx−zk.
1 Montrer que siC est convexe, la fonction dC est convexe.
2 Montrer que :
(i) f est α-fortement convexe si et seulement si f−α2 k.k2 est convexe.
(Indication : commencer par montrer que pour la fonction f(x) = α2 kxk2, l'inégalité (1) est en fait une égalité)
(ii) f est β-semiconvexe si et seulement sif+ β2 k.k2 est convexe.
3 En utilisant le critère de la question précédente, montrer que si K est un compact de H (non nécessairement convexe) l'application x7→ −d2K(x) est2-semiconvexe.2
Exercice 3. Soit Sn++ l'ensemble des matrices symétriques dénies positives. Le but de cet exercice est de montrer la log-concavité de la fonction déterminant. On admet l'énoncé suivant : Lemme 1. SoitM une matrice deMn,n(R)dont les colonnes sont unitaires. Alors,det(M)≤1.
1. Les formes linéaires surEsont notées comme des vecteurs, avec une étoile en exposant. De plus, pour une forme linéairex∗ :E → R, et un vecteur x∈ E on utilisera la notation hx∗|xi :=x∗(x), qui rappelle le cadre Hilbertien (et montre la bilinéarité en(x∗, x)).
2. Ainsi,d2K vérie des propriété de concavité plutôt que de convexité.
1
1 Montrer que si M est une matrice de Mn,n(R) dont les colonnes sont v1, . . . , vn, alors det(M)≤Q
1≤i≤nkvik.
2 En déduire que pourP = (pij)1≤i,j≤n∈ Sn++, on adet(P)≤Q
1≤i≤npii. Indication : utiliser la décomposition de Cholesky P =tN N.
3 En déduire la formule
det(P) = min
O∈O(n)
Y
1≤i≤n
[tOP O]ii. (2)
4 Utiliser (2) pour démontrer la convexité deM ∈ Sn++7→ −log(det(M)).
5 Application : Pour toutα >0, l'ensemble{M ∈ Sn++; det(M)≥α}est convexe.
Exercice 4. Soir E l'espace des suites réelles sommables muni de la norme kxk1 = P
i≥0|xi|. Le but de cet exercice est d'étudier la diérentiabilité de la fonction convexef :x∈E 7→ kxk1. 1 Soit x ∈ E une suite telle que xn = 0 pour un certain n. Montrer que −f+(x;−en) 6=
f+(x;en); en déduire que l'application f+(x;·)n'est pas linéaire.
2 Supposons au contraire quexn6= 0pour toutn. Il s'agit de montrer que dans ce casf+(x;·) est linéaire. Montrer que
f+(x;v) =X
n≥0
vnσn,
où σn∈ {−1,1} est le signe dexn. En déduire quef est Gâteaux-diérentiable en x. (Indication : utiliser le fait que v sommable implique∀ε >0,∃N >0,P
n≥N|vn| ≤ε) 3 Montrer quef n'est Fréchet-diérentiable en aucun pointx de E.
(Indication : poservm= (0,0, . . . ,−2xm,0, . . .)∈Eet considérer(f(x+vm)−f(x))/kvmk1.)
2
