Montrer que toute forme linéaire non nulle sur E est surjective

Université BORDEAUX 1 L2/2013 Algèbre 2

Liste d’exercices n^o 7 Dualité

Exercice 1

SoitE un espace vectoriel de dimension finie nsur un corpsK.

1. Montrer que toute forme linéaire non nulle sur E est surjective.

2. Montrer que le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan, i.e. un sous- espace de E de dimension n−1.

3. Montrer que tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle surE.

4. Soient φ1 etφ2 deux formes linéaires non nulles sur E. Montrer que Kerφ1 = Kerφ2 si et seulement s’il existe λ∈K^∗ tel que φ1=λφ2.

Exercice 2

Soient K un corps, E un K-espace vectoriel, f et g deux formes linéaires sur E telles que pour tout x∈E,f(x)g(x) = 0. Montrer que l’une au moins des deux formes est nulle.

Exercice 3

Soientφ1,φ2 etφ3 les applications de R³ dansRdéfinies pour tout (x1, x2, x3)∈R³ par φ1(x1, x2, x3) = 2x1+ 4x2+x3

φ₂(x₁, x₂, x₃) = 4x₁+ 2x₂+ 3x₃ φ3(x1, x2, x3) =x1+x2

Montrer que(φ1, φ2, φ3)est une base de(R³)^∗ et déterminer sa base duale (dansR³).

Exercice 4

Trouver toutes les formes linéaires sur R³ qui s’annulent en (1,1,0) et (0,0,1) mais pas en (1,0,1).

Exercice 5

On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à deux, noté R2[X]. Montrer que la famille (P0, P1, P2) où P0 = 1, P1 =X+ 1et P2 = (X+ 1)² constitue une base B deR₂[X]. Déterminer la base duale de la base B (dansR₂[X]^∗).

Exercice 6

On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à trois, noté R3[X]. Si P ∈ R3[X] on pose φ1(P) = P(0), φ2(P) = P(1), ψ1(P) = P⁰(0), ψ₂(P) =P⁰(1). Montrer que(φ₁, φ₂, ψ₁, ψ₂)est une base deR₃[X]^∗ et déterminer sa base duale (dans R3[X]).

Exercice 7

On considèreE=C_n[X]l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dansCde degré ≤n (n ≥0). Soient z₀, z₁, . . . , z_n des complexes distincts. Pour tout P ∈ E et tout 0 ≤ i ≤ n, on pose fi(P) =P(zi). Montrer que (f0, f1, . . . , fn) est une base deE^∗ et déterminer sa base duale (dans E).

Exercice 8

Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Si F est un sous-espace de E et si F est un sous-espace de E^∗ on pose

F^⊥={f ∈E^∗; f(x) = 0pour tout x∈F} et F^◦={x∈E; f(x) = 0pour tout f ∈ F }.

1. Rappeler pourquoi F^⊥ est un sous-espace deE^∗ et pourquoi siE est de dimension finien, alorsdimF^⊥=n−dimF (cours).

2. Montrer que F^◦ est un sous-espace vectoriel de E.

3. Montrer que si E est de dimension finien, alors dimF^◦ =n−dimF.

4. Montrer que si F, G sont deux sous-espaces deE, alors (F +G)^⊥ =F^⊥∩G^⊥.

5. Sous les mêmes hypothèses montrer queF^⊥+G^⊥⊆(F∩G)^⊥et que siEest de dimension finie¹ F^⊥+G^⊥= (F ∩G)^⊥.

6. Montrer que si F,G sont deux sous-espaces deE^∗, alors(F+G)^◦ =F^◦∩ G^◦.

7. Sous les mêmes hypothèses montrer que F^◦+G^◦ ⊆(F ∩ G)^◦ et que si E est de dimension finie² F^◦+G^◦ = (F ∩ G)^◦.

Exercice 9

SoitK un corps etnun entier≥2.

1. Soit A ∈ M_n(K). Montrer que f_A : M_n(K) → K définie par f_A(M) = Tr(AM) est une forme linéaire sur Mn(K).

2. SoitΨ :Mn(K)→Mn(K)^∗ définie parΨ(A) =fA. Montrer queΨest linéaire et injective.

On pourra se servir des matrices élémentairesEi,j (tout coefficient est nul sauf le coefficient situé en i-ième ligne etj-ième colonne qui vaut 1).

3. En déduire que pour tout f ∈M_n(K)^∗, il existe une unique matrice A∈M_n(K)telle que f =f_A.

4. Exprimer la base duale de la base (E_i,j) à l’aide deΨ.

5. Soit f ∈M_n(K)^∗ telle que pour tout (A, B) ∈M_n(K)² on ait f(AB) =f(BA). Montrer qu’il existe λ∈K tel que pour toutM ∈Mn(K),f(M) =λTr(M).

Exercice 10

SoientE leR-espace vectorielR[X],f :E→E définie par f(P) =XP etφ:E →Rdéfinie parφ(P) =P⁰(0). Calculer^tf(φ)

Exercice 11

SoientE etF deux K-espaces vectoriels etf ∈ L(E, F).

1. Montrer que Ker(^tf) = (Imf)^⊥ et en déduire que f est surjectif si et seulement si ^tf est injectif.

2. Montrer que Im(^tf)⊆(Kerf)^⊥.

3. Montrer que si E etF sont de dimension finie, cette inclusion est en fait une égalité.³ 4. Établir que si E etF sont de dimension finie, on a rang(^tf) =rang(f).

Exercice 12

Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et m. Soient B une base deE etB⁰ une base deF. Soitu∈ L(E, F)de matriceA∈Mm,n(K) dans les basesB etB⁰. Montrer que la matrice de^tu dans les basesB^0∗ etB^∗ est ^tA, la transposée de A.

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1. En fait cette égalité est toujours vraie. On peut la montrer en se servant du théorème de la base incomplète.

2. En revanche, cette égalité n’est pas toujours vraie.

3. En fait c’est vrai en toute généralité mais plus délicat à établir.