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Formes bilinéaires et quadratiques réelles ou complexes
On se limite pour ce chapitre à l’étude des formes bilinéaires et quadratiques définies sur un espace vectoriel réel ou complexe.
On désigne pour ce chapitre par E un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie ou non.
On notera K le corps de réels ou des complexes, en précisant quand cela sera nécessaire s’il s’agit de Rou C.Par scalaire on entend réel ou complexe.
L’étude des formes quadratiques sur un corps quelconque de caractéristique différente de 2 sera reprise plus loin.
11.1 Formes linéaires
On rappelle la définition suivante déjà donnée au paragraphe 8.4.
Définition 11.1 Une forme linéaire sur E est une application linéaire de E dans K.
Exemple 11.1 Si E est un espace vectoriel de dimension n et B = (ej)1≤j≤n une base de E, alors la j-ième projection :
pj :x= Xn
i=1
xiei 7→xj
où j est un entier compris entre 1 et n, est une forme linéaire sur E.
Exemple 11.2 Si E est un espace vectoriel de dimension n, B = (ej)1≤j≤n une base de E et α1, α2,· · ·, αn des scalaires, alors l’application :
`:x= Xn
i=1
xiei 7→α1x1+α2x2+· · ·+αnxn
est une forme linéaire sur E.
En fait toutes les formes linéaires sur E de dimension n sont de la forme précédente. En effet, tout vecteur x deE s’écrit x= Pn
j=1
xjej et pour tout forme linéaire` sur E, on a :
`(x) = ` Ã n
X
j=1
xjej
!
= Xn
j=1
xj`(ej) = Xn
j=1
αjxj
161
en notant αj =`(ej) pour tout entierj compris entre1 etn.
La matrice ligne :
L= (α1, α2,· · · , αn) = (`(e1), `(e2),· · · , `(en)) est tout simplement la matrice de ` dans la base B= (ej)1≤j≤n deE et on a :
∀x∈E, `(x) = L·x= (α1, α2,· · · , αn)
x1 x2
...
xn
= Xn
j=1
αjxj.
Ce résultat peut aussi s’exprimer sous la forme :
∀x∈E, `(x) = Xn
j=1
αjpj(x) = Ã n
X
j=1
αjpj
! (x) où pj désigne, pour j compris entre 1et n, la projection x7→xj.
On peut donc écrire, une base B de E étant donnée, toute forme linéaire ` sur E sous la forme :
` = Xn
j=1
αjpj
où les αj ∈ K sont uniquement déterminés par αj = `(ej) pour tout entier j compris entre 1 et n.
Nous avons donc montré le résultat suivant.
Théorème 11.1 Si E est un espace vectoriel de dimension n et B= (ej)1≤j≤n une base de E, alors l’ensemble de toutes les formes linéaires sur E est un espace vectoriel de dimension n de base (p1,· · · , pn).
On rappelle que si on dispose d’une base B d’un espace vectoriel E dire qu’une famille (v1,· · ·, vp) d’éléments de E est libre (ou que ces éléments sont linéairement indépendants) équivaut à dire que les vecteurs colonnes X1,· · · , Xp formés des composantes de ces vecteurs dans la baseBsont linéairement indépendants dansKn.On peut donc parler de formes linéaires linéairement indépendantes.
On rappelle également que pour montrer que le système (X1,· · · , Xp) est libre dans Kn, il suffit d’extraire de la matrice (X1,· · · , Xp) un déterminant d’ordre p non nul (ce qui impose bien sur que p≤n).
Dire que le système (X1,· · · , Xp) est libre dans Kn équivaut aussi à dire que la matrice (X1,· · · , Xp) est de rangp. Comme une matrice et sa transposée ont même rang, il revient au même de calculer le rang de la matrice transposée
tX1 ...
tXp
.
On retiendra que des formes linéaires `1,· · ·, `p définies sur E, de base B= (ej)1≤j≤n,par :
∀x∈E, `i(x) = Xn
j=1
αi,jxj (1≤i≤p)
sont linéairement indépendantes si, et seulement si la matrice :
A=
L1
...
Lp
=
α11 α12 · · · α1n α21 α22 · · · α2n ... . .. ...
αp1 αp2 · · · αpn
est de rang p(Li est la matrice de `i dans la baseB de E), ce qui revient à dire qu’on peut en extraire un déterminant d’ordre p non nul.
Exercice 11.1 Montrer que les formes linéaires (`j)1≤j≤3 définies sur K5 par :
`1(x) =x1+x2+x3+x4+x5
`2(x) = 3x1−2x3+ 2x4+x5
`3(x) = 3x2+x3+ 3x4 sont linéairement indépendantes.
Solution 11.1 Il s’agit de vérifier que la matrice :
A=
L1 L2 L3
=
1 1 1 1 1 3 0 −2 2 1 0 3 1 3 0
est de rang 3, ce qui résulte de :
¯¯
¯¯
¯¯
1 1 1 3 0 −2 0 3 1
¯¯
¯¯
¯¯= 126= 0.
Remarque 11.1 La somme de deux formes linéaires sur E est une forme linéaire, mais en général le produit de deux formes linéaires sur E n’est pas une forme linéaire.
Exercice 11.2 Soient `1 et `2 deux formes linéaires sur E. Montrer que l’application `1`2 est une forme linéaire sur E si, et seulement si, l’une de ces deux formes est l’application nulle.
Solution 11.2 Il est clair que si l’une de ces deux formes est l’application nulle, alors `1`2 est une forme linéaire sur E.
Réciproquement supposons que `1`2 soit linéaire. On a alors pour tout scalaireλet tous vecteurs x, y dans E :
`1(x)`2(x) +λ`1(y)`2(y) = (`1`2) (x) +λ(`1`2) (y)
= (`1`2) (x+λy) =`1(x+λy)`2(x+λy)
= (`1(x) +λ`1(y)) (`2(x) +λ`2(y))
=`1(x)`2(x) +λ(`1(x)`2(y) +`1(y)`2(x)) +λ2`1(y)`2(y) et le polynôme :
`1(y)`2(y)λ2+ (`1(x)`2(y) +`1(y)`2(x)−`1(y)`2(y))λ est identiquement nul, ce qui équivaut à :
`1(y)`2(y) = 0 et `1(x)`2(y) +`1(y)`2(x)−`1(y)`2(y) = 0
ou encore à :
`1(y)`2(y) = 0 et `1(x)`2(y) +`1(y)`2(x) = 0 pour tous x, y dans E.
Si `1 6= 0, il existe alors y ∈E tel que `1(y)6= 0, donc `2(y) = 0 et `1(y)`2(x) = 0 pour tout x∈E, ce qui équivaut à `2 = 0.
Exercice 11.3 Déterminer le noyau de la forme linéaire définie sur l’espace K3 par :
`:v =
x y z
7→x−y
Solution 11.3 Ce noyau est : ker (`) = ©
v ∈K3 |x=yª
=
v =
x x z
=xv1+zv2 |(x, y)∈K2
où on a notév1 =
1 1 0
etv2 =
0 0 1
.Les vecteursv1 etv2 étant linéairement indépendants, ce noyau est le plan vectoriel engendré par v1 et v2.
De manière plus générale, on donne la définition suivante.
Définition 11.2 On appelle hyperplan de E, le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.
Sur E, de base B = (ej)1≤j≤n, un hyperplan et donc l’ensemble des vecteurs x = Pn
j=1
xjej tels que :
α1x1 +α2x2+· · ·+αnxn = 0 où les scalaires αj ne sont pas tous nuls.
De plus une forme linéaire non nulle ` étant surjective (exercice 8.8), le théorème du rang nous dit que, pour pour E de dimensionn, on a :
dim (ker (`)) =n−1.
Réciproquement siH est un sous-espace de dimensionn−1dansE de dimension n,il admet une base (ei)1≤i≤n−1 qui peut se compléter en une base (ei)1≤i≤n deE et H est le noyau de la n-ième projection :
pn:x= Xn
j=1
xjej 7→xn. Nous avons donc montré le résultat suivant.
Théorème 11.2 Sur un espace vectoriel E de dimension n un hyperplan est un sous-espace de E de dimension n−1.
Les supplémentaires d’un hyperplan dansE de dimension finie sont donc des droites. En fait ce résultat est général.
Théorème 11.3 Si H est un hyperplan d’un espace vectoriel E, il existe alors une droite D telle que E =H⊕D.
Démonstration. On a H = ker (`) où ` est une forme linéaire non nulle sur E. Il existe donc un vecteur non nul a dansE tel que`(a) = 0.En désignant par D=Ka la droite dirigée par a, on a alors E = H⊕D. En effet, si x ∈ H∩D, il existe un scalaire λ tel que x = λa et `(x) = λ`(a) = 0 nous donne λ = 0. On a donc H∩D ={0}. De plus pour tout vecteur x ∈ E, le vecteur y = x− `(x)
`(a)a est dans H = ker (`) et avec x = y+ `(x)
`(a)a, on déduit que x∈H+D.On a donc E =H+Det E =H⊕D.
Réciproquement un sous-espace vectorielH deE supplémentaire d’une droiteDest le noyau de la forme linéaire ` qui associe à tout vecteur x de E sa projection sur D, c’est donc un hyperplan.
On a donc le résultat suivant.
Théorème 11.4 Un hyperplan de E est un sous-espace de E supplémentaire d’une droite.
11.2 Formes bilinéaires
Définition 11.3 Une forme bilinéaire sur E est une application : ϕ: E×E → K
(x, y) 7→ ϕ(x, y)
telle que pour tout x dans E l’application y 7→ ϕ(x, y) est linéaire et pour tout y dans E l’application x7→ϕ(x, y) est linéaire.
Définition 11.4 On dit qu’une forme bilinéaire ϕ sur E est symétrique si ϕ(y, x) = ϕ(x, y) pour tous x, y dans E.
Définition 11.5 On dit qu’une forme bilinéaire ϕ sur E est anti-symétrique (ou alternée) si ϕ(y, x) =−ϕ(x, y) pour tous x, y dans E.
Remarque 11.2 Une application symétrique ϕ de E2 dans K est bilinéaire si, et seulement si, l’une des deux applications y 7→ϕ(x, y) (pour tout x dans E) ou x7→ϕ(x, y) (pour tout y dans E) est linéaire.
Exemple 11.3 Si `1 et `2 sont deux formes linéaires sur E, alors l’application : (x, y)7→`1(x)`2(y)
est une forme bilinéaire sur E.
Exemple 11.4 Si E est l’espace C0([a, b],R) des fonctions continues de [a, b] dans R, alors l’application :
ϕ: (f, g)7→
Z b
a
f(t)g(t)dt est une forme bilinéaire.
Exemple 11.5 Si `1,· · · , `p sont des formes linéaires sur E et (αij)1≤i,j≤p une famille de scalaires, alors l’application :
(x, y)7→ X
1≤i,j≤p
αij`i(x)`j(y) est une forme bilinéaire.
Nous verrons un peu plus loin que, sur un espace de dimensionn,toutes les formes bilinéaires sont de la forme précédente.
On notera Bil(E) l’ensemble de toutes les formes bilinéaires surE.
On vérifie facilement que Bil(E)est un espace vectoriel.
Exercice 11.4 Montrer que toute forme bilinéaire ϕ sur E s’écrit de manière unique comme somme d’une forme bilinéaire symétrique et d’une forme bilinéaire alternée.
Solution 11.4 Soit ϕ une forme bilinéaire sur E. Les applications ϕ1 et ϕ2 définies sur E2
par : ½
ϕ1(x, y) = 12(ϕ(x, y) +ϕ(y, x)) ϕ2(x, y) = 12(ϕ(x, y)−ϕ(y, x))
sont bilinéaires, la forme ϕ1 étant symétrique et ϕ2 étant alternée. Et on a bien ϕ=ϕ1+ϕ2. Réciproquement si ϕ = ϕ1 +ϕ2 avec ϕ1 bilinéaire symétrique et ϕ2 bilinéaire alternée, on a
alors : ½
ϕ(x, y) = ϕ1(x, y) +ϕ2(x, y)
ϕ(y, x) = ϕ1(y, x) +ϕ2(y, x) = ϕ1(x, y)−ϕ2(x, y)
et ϕ(x, y) +ϕ(y, x) = 2ϕ1(x, y), ϕ(x, y)−ϕ(y, x) = ϕ2(x, y), ce qui prouve l’unicité de ϕ1 et ϕ2.
En désignant par Bils(E) [resp. Bila(E)] le sous-ensemble de Bil(E) constitué des formes bilinéaires symétriques [resp. alternées] surE,on vérifie facilement queBils(E)etBila(E)sont des sous-espaces vectoriels de Bil(E) et l’exercice précédant nous dit que Bil(E) est somme directe de Bils(E)et Bila(E), soit :
Bil(E) =Bils(E)⊕Bila(E)
11.3 Expression matricielle des formes bilinéaires (en di- mension finie)
Comme pour les applications linéaires, les matrices nous serviront à décrire une forme bili- néaire dans le cas des espaces de dimension finie.
Pour ce paragrapheE est un espace vectoriel de dimensionn et on désigne parB = (ei)1≤i≤n une base de E.
Tout vecteur x∈E s’écrit de manière unique sous la forme x= Pn
j=1
xjej.On associe à un tel
x le vecteur colonne X =
x1 x2 ...
xn
deKn.
Plaçons nous tout d’abord sur E =R2 (ou C2) muni de sa base canonique (e1, e2). Siϕ est une forme bilinéaire sur E, on a alors pour tous vecteurs x = x1e1+x2e2 et y = y1e1 +y2e2 dans E :
ϕ(x, y) = ϕ(x1e1+x2e2, y)
=x1ϕ(e1, y) +x2ϕ(e2, y)
=x1ϕ(e1, y1e1+y2e2) +x2ϕ(e2, y1e1+y2e2)
=x1(y1ϕ(e1, e1) +y2ϕ(e1, e2)) +x2(y1ϕ(e2, e1) +y2ϕ(e2, e2)) En désignant par A la matrice :
A=
µ ϕ(e1, e1) ϕ(e1, e2) ϕ(e2, e1) ϕ(e2, e2)
¶
on remarque que :
AY =
µ ϕ(e1, e1) ϕ(e1, e2) ϕ(e2, e1) ϕ(e2, e2)
¶ µ y1 y2
¶
=
µ y1ϕ(e1, e1) +y2ϕ(e1, e2) y1ϕ(e2, e1) +y2ϕ(e2, e2)
¶
et :
tX(AY) = (x1, x2)
µ y1ϕ(e1, e1) +y2ϕ(e1, e2) y1ϕ(e2, e1) +y2ϕ(e2, e2)
¶
=ϕ(x, y).
Le produit des matrices étant associatif, cela s’écrit : ϕ(x, y) = tXAY
Le cas d’une forme bilinéaire sur un espace de dimension n se traite de manière analogue.
Définition 11.6 La matrice d’une forme bilinéaire ϕ dans la base B = (ei)1≤i≤n de E est la matrice carrée d’ordre n :
A= ((ϕ(ei, ej)))1≤i,j≤n.
Théorème 11.5 Soit ϕune forme bilinéaire sur E et A la matrice de ϕdans la base B.Pour tous vecteurs x, y dans E, on a :
ϕ(x, y) = tXAY Démonstration. En utilisant la bilinéarité de ϕ, on a :
ϕ(x, y) =ϕ Ã n
X
i=1
xiei, y
!
= Xn
i=1
xiϕ(ei, y)
= Xn
i=1
xiϕ Ã
ei, Xn
j=1
yjej
!
= Xn
i=1
xi Xn
j=1
yjϕ(ei, ej) et avec :
AY = Ã n
X
j=1
yjϕ(ei, ej)
!
1≤i≤n
tXAY = tX(AY) = Xn
i=1
xi
Xn
j=1
yjϕ(ei, ej) on a le résultat annoncé.
On retiendra que l’expression d’une forme bilinéaire ϕdans une base est : ϕ(x, y) = tXAY =
Xn
i=1
xi Xn
j=1
aijyj = X
1≤i,j≤n
aijxiyj où on a posé aij =ϕ(ei, ej) pouri, j compris entre 1 etn.
Réciproquement une telle fonction sur E2 définit bien une forme bilinéaire surE.
Ce résultat peut aussi s’exprimer comme suit.
Théorème 11.6 Une application ϕ de E ×E dans K est une forme bilinéaire sur E si, et seulement si, et seulement si, il existe une matrice A = ((aij))1≤i,j≤n dans Mn(K) et des formes linéaires `1,· · · , `n linéairement indépendantes telles que :
∀(x, y)∈E×E, ϕ(x, y) = X
1≤i,j≤n
aij`i(x)`j(x).
Démonstration. Siϕest bilinéaire, on a dans une base B= (ei)1≤i≤n deE, pour tousx, y dans E :
ϕ(x, y) = X
1≤i,j≤n
aijxiyj = X
1≤i,j≤n
aij`i(x)`j(x) où (`i)1≤i≤n est la base duale de B.
Et la réciproque est claire.
L’application qui associe à une forme bilinéaire ϕsur un espace vectorielE de dimension n sa matrice dans une base donnée de E réalise un isomorphisme deBil(E)sur l’espaceMn(K) des matrices carrées d’ordre n. Cet espace étant de dimension n2, on en déduit que :
dimK(Bil(E)) = n2.
Théorème 11.7 Une forme bilinéaire ϕ sur E est symétrique [resp. alternée] si, et seulement si, sa matrice A dans une quelconque base B de E est symétrique [resp. alternée].
Démonstration.Siϕest symétrique [resp. alternée], on a en particulierϕ(ei, ej) =ϕ(ej, ei) [resp. ϕ(ei, ej) =−ϕ(ej, ei)] pour tous i, j compris entre 1 et n, ce qui signifie que la matrice A de ϕdans B est symétrique [resp. alternée].
Réciproquement si cette matrice est symétrique [resp. alternée], on a alors pour tous x, y dans E :
ϕ(y, x) = tY AX = t¡ t
Y AX¢
= tX tAY = tXAY =ϕ(x, y) resp. ϕ(y, x) = tY AX = t¡ t
Y AX¢
= tX tAY =− tXAY =−ϕ(x, y) (le produit matriciel T = tY AX étant un scalaire, on a bien tT =T).
Le sous-espace Bils(E) de Bil(E)formé des formes bilinéaires symétriques sur E est donc isomorphe au sous-espace de Mn(K) formé des matrices symétriques, cet espace étant de dimension n(n+ 1)
2 , il en résulte que :
dim (Bils(E)) = n(n+ 1)
2 .
Avec Bil(E) =Bils(E)⊕Bila(E),on déduit que : dim (Bila(E)) =n2− n(n+ 1)
2 = n(n−1) 2
Exercice 11.5 Montrer que chacune des applicationsϕqui suivent est bilinéaire et calculer sa matrice dans la base canonique de Rn.
1. n = 2, ϕ(x, y) =x1y1−2x2y2.
2. n = 3, ϕ(x, y) =x1y1−x1y2−x2y2−2x2y3−x3y1−2x3y3. 3. n = 3, ϕ(x, y) = 2x1y1−3x2y2−x3y3.
Solution 11.5 La bilinéarité de chacune de ces applications est évidente. Les matrices respec- tives dans les bases canoniques sont :
A1 =
µ 1 0 0 −2
¶
, A2 =
1 −1 0 0 −1 −2
−1 0 −2
, A3 =
2 0 0 0 −3 0 0 0 −1
La première et la troisième sont symétriques, mais pas la deuxième.
Exercice 11.6 SoitA =
1 2 3 2 3 4 3 4 5
.Déterminer la forme bilinéaire ϕsur R3 de matrice A dans la base canonique.
Solution 11.6 On a :
ϕ(x, y) = tXAY =¡
x1 x2 x3 ¢
1 2 3 2 3 4 3 4 5
y1 y2 y3
=x1(y1+ 2y2+ 3y3) +x2(2y1+ 3y2+ 4y3) +x3(3y1+ 4y2+ 5y3)
Exercice 11.7 Déterminer dans la base canoniqueB = (e1, e2, e3)deR3 la matrice de la forme bilinéaire symétrique ϕ telle que pour v1 =
1 2 1
, v2 =
−1 2 0
, v3 =
1 0 1
, on ait :
ϕ(v1, v1) = 5, ϕ(v1, v2) = 0, ϕ(v1, v3) = −1, ϕ(v2, v2) = 1, ϕ(v2, v3) = 4, ϕ(v3, v3) = 0.
Solution 11.7 Comme :
det (v1, v2, v3) =
¯¯
¯¯
¯¯
1 −1 1 2 2 0 1 0 1
¯¯
¯¯
¯¯= 2 6= 0 B0 = (v1, v2, v3) est une base de R3.
En désignant, pour tous vecteurs x, y dans R3, par ¡ x0j¢
1≤j≤3 et ¡ yj0¢
1≤j≤3 les coordonnées de ces vecteurs dans la base B0, on a (en supposant que ϕ existe) :
ϕ(x, y) =ϕ(x01v1+x02v2 +x03v3, y10v1+y20v2+y30v3)
=x01y10ϕ(v1, v1) +x02y02ϕ(v2, v2) +x03y30ϕ(v3, v3) + (x01y02+x02y10)ϕ(v1, v2) + (x01y30 +x03y01)ϕ(v1, v3) + (x02y03+x03y20)ϕ(v2, v3)
= 5x01y01+x02y20 −(x01y03+x03y10) + 4 (x02y03+x03y20)
Par ailleurs, avec :
v1 =e1+ 2e2+e3 v2 =−e1+ 2e2 v3 =e1+e3
on déduit que :
e1 =v1−v2−v3 e2 = 12(v1−v3) e3 =−v1+v2 + 2v3 et :
ϕ(e1, e1) = 16, ϕ(e2, e2) = 7
4, ϕ(e3, e3) = 26, ϕ(e1, e2) = 11
2 , ϕ(e1, e3) =−21, ϕ(e2, e3) = −6
ce qui permet de définir ϕ dans la base canonique et montre l’unicité d’une telle forme.
Réciproquement, on vérifie que cette application bilinéaire convient.
L’exercice précédent peut se résoudre de façon plus efficace en utilisant la formule de chan- gement de base donnée par le résultat qui suit.
Théorème 11.8 SoientB1 et B2 deux bases de E etP la matrice de passage deB1 à B2.Si A1 et A2 sont les matrices d’une forme bilinéaire ϕ sur E dans les bases B1 et B2 respectivement, on a alors :
A2 = tP A1P.
Démonstration.Pourx∈E,on note respectivementX1 etX2les vecteurs colonnes formés des composantes de x dans les basesB1 et B2 respectivement. Pour tous vecteurs x, y dans E, on a alors :
ϕ(x, y) = tX1A1Y1 = t(P X2)A1(P Y2)
= tX2¡ t
P A1P¢ Y2
ce qui signifie exactement que A2 = tP A1P du fait de l’unicité de la matrice deϕdans la base B2.
Exercice 11.8 Reprendre l’exercice 11.7 en utilisant le théorème précédent.
Solution 11.8 La matrice de passage de B à B0 est :
P =
1 −1 1
2 2 0
1 0 1
et la matrice de ϕ dans B0 :
A0 =
ϕ(v1, v1) ϕ(v1, v2) ϕ(v1, v3) ϕ(v1, v2) ϕ(v2, v2) ϕ(v2, v3) ϕ(v1, v3) ϕ(v2, v3) ϕ(v3, v3)
=
5 0 −1 0 1 4
−1 4 0
Il en résulte que la matrice de ϕ dans B est :
A= tP−1A0P−1
avec :
P−1 =
1 12 −1
−1 0 1
−1 −12 2
ce qui donne :
A =
1 −1 −1
1
2 0 −12
−1 1 2
5 0 −1 0 1 4
−1 4 0
1 12 −1
−1 0 1
−1 −12 2
=
16 112 −21
11
2 7
4 −6
−21 −6 26
.
Définition 11.7 Le discriminant dans une base B = (ei)1≤i≤n de E d’une forme bilinéaire ϕ est le déterminant de la matrice A = ((ϕ(ei, ej)))1≤i,j≤n de ϕ dans cette base. On le note
∆B(ϕ).
En utilisant le théorème 11.8, on déduit que siB1 etB2 sont deux bases deE etP la matrice de passage de B1 à B2, on a alors pour toute forme bilinéaireϕ sur E :
∆B2(ϕ) = (det (P))2∆B1(ϕ)
Exercice 11.9 Soient E, F deux espaces vectoriels, u une application linéaire de E dans F et ϕ une forme bilinéaire sur F.
1. Montrer que l’application ψ définie sur E2 par :
∀(x, y)∈E2, ψ(x, y) =ϕ(u(x), u(y)) est bilinéaire.
2. En supposant E et F de dimension finie et en désignant par B1 une base de E, B2 une base de F, A la matrice de u dans les bases B1 et B2 et par B la matrice de ϕ dans la base B2, déterminer la matrice de ψ dans la base B1.
3. On suppose ici que E est de dimension n≥1 et que ϕ est une forme bilinéaire sur E.
On appelle matrice de Gram d’une famille (xi)1≤i≤n de vecteurs de E, la matrice : G(x1,· · · , xn) = ((ϕ(xi, xj)))1≤i,j≤n
et le déterminant de cette matrice, noté g(x1,· · · , xn), est appelé déterminant de Gram de la famille (xi)1≤i≤n.
(a) En désignant par B= (ei)1≤i≤n une base de E, montrer que : g(x1,· · · , xn) = (detB(x1,· · · , xn))2∆B(ϕ) (b) Montrer que pour tout endomorphisme u de E, on a :
g(u(x1),· · · , u(xn)) = (det (u))2g(x1,· · · , xn) Solution 11.9
1. Pour x[resp. y] fixé dansE, l’application y7→ϕ(u(x), u(y))[resp. x7→ϕ(u(x), u(y))]
est linéaire comme composée de deux applications linéaires. L’application ψ est donc bili- néaire sur E.
2. On note, pour tout vecteur x de E, X le vecteur colonne formé des composantes de x dans la base B1. Pour x, y dans E, on a :
ϕ(u(x), u(y)) = t(AX)B(AY) = tX¡ t ABA¢
Y et en conséquence tABA est la matrice de ψ dans la base B1.
3.
(a) Soientu∈ L(E) défini paru(ei) = xi pour tout i compris entre1 etn etψ la forme bilinéaire définie sur E2 par :
∀(x, y)∈E2, ψ(x, y) = ϕ(u(x), u(y)) On a :
∆B(ψ) = det³
((ψ(ei, ej)))1≤i,j≤n´
= det
³
((ϕ(u(ei), u(ej))))1≤i,j≤n
´
= det
³
((ϕ(xi, xj)))1≤i,j≤n
´
=g(x1,· · · , xn) et avec la question 2. on a aussi :
∆B(ψ) = det¡ t ABA¢
= (det (A))2det (B)
= (detB(x1,· · · , xn))2∆B(ϕ) (b) On a :
g(u(x1),· · · , u(xn)) = (detB(u(x1),· · · , u(xn)))2∆B(ϕ) avec :
detB(u(x1),· · ·, u(xn)) = det (u) detB(x1,· · · , xn) ce qui donne :
g(u(x1),· · · , u(xn)) = (det (u))2(detB(x1,· · · , xn))2∆B(ϕ)
= (det (u))2g(x1,· · · , xn)
11.4 Formes quadratiques
Définition 11.8 On appelle forme quadratique sur E une application q définie de E dans K par :
∀x∈E, q(x) =ϕ(x, x) où ϕ est une forme bilinéaire.
Remarque 11.3 Il est facile de vérifier que l’ensemble Q(E) des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel.
Remarque 11.4 A priori, il n’y a pas unicité des formes bilinéaires associées à une forme quadratique. Par exemple sur R2, les formes bilinéaires ϕ et ψ définies par :
½ ϕ(x, y) = x1y1+x2y2
ψ(x, y) =x1y1+x1y2−x2y1+x2y2 définissent la même forme quadratique :
q(x) =ϕ(x, x) = x21+x22
=ψ(x, x) =x21+x1x2−x2x1+x22 L’unicité de ϕest assurée par le résultat suivant.
Théorème 11.9 Si q est une forme quadratique sur E, il existe alors une unique forme bili- néaire symétrique ϕ telle que q(x) =ϕ(x, x) pour tout x∈E.
Démonstration. La forme quadratique q est définie par q(x) =ϕ0(x, x) pour toutx∈E, où ϕ0 est une forme bilinéaire sur E. L’application ϕdéfinie sur E×E par :
ϕ(x, y) = 1
2(ϕ0(x, y) +ϕ0(y, x))
est bilinéaire et symétrique avec ϕ(x, x) =q(x) pour toutx ∈E, ce qui prouve l’existence de ϕ.
Comme ϕest bilinéaire et symétrique, on a pour x, y dans E :
q(x+y) =ϕ(x+y, x+y) =ϕ(x, x) + 2ϕ(x, y) +ϕ(y, y)
=q(x) + 2ϕ(x, y) +q(y) de sorte que :
ϕ(x, y) = 1
2(q(x+y)−q(x)−q(y)) ce qui prouve l’unicité de ϕ.
Définition 11.9 Avec les notations du théorème qui précède, on dit que ϕ est la forme polaire de la forme quadratique q.
On retiendra l’expression de cette forme polaire :
∀(x, y)∈E2, ϕ(x, y) = 1
2(q(x+y)−q(x)−q(y)) En écrivant que : ½
q(x+y) =q(x) + 2ϕ(x, y) +q(y) q(x−y) =q(x)−2ϕ(x, y) +q(y) on déduit que cette forme polaire est aussi définie par :
∀(x, y)∈E2, ϕ(x, y) = 1
4(q(x+y)−q(x−y)) On notera aussi que pour tout scalaire λ et tout vecteur x, on a :
q(λx) =ϕ(λx, λx) =λ2ϕ(x, x) =λ2q(x) ce qui se traduit en disant que q est une fonction homogène de degré 2.
Remarque 11.5 L’application qui associe à une forme quadratique q sa forme polaire ϕ réa- lise un isomorphisme d’espaces vectoriels de Q(E) sur l’espace Bils(E) des formes bilinéaires symétriques sur E. Pour E de dimension n, Q(E) est de dimension n(n+ 1)
2 .
Remarque 11.6 De cet isomorphisme, on déduit aussi que deux formes bilinéaires symétriques ϕ1 et ϕ2 sur E sont égales si, et seulement si, ϕ1(x, x) = ϕ2(x, x) pour tout x∈E.
Dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie on peut utiliser les matrices pour définir les formes quadratiques.
Définition 11.10 Soit E un espace vectoriel de dimension n etB une base deE. Si q est une forme quadratique sur E de forme polaire ϕ, on dit alors que la matrice de ϕ dans la base B est la matrice de q dans cette base.
En reprenant les notations du paragraphe 11.3, une forme quadratique est définie sur E de base B par :
q(x) =ϕ(x, x) = tXAX = X
1≤i,j≤n
aijxixj et comme aij =aji, cela peut s’écrire :
q(x) = Xn
i=1
aiix2i + 2 X
1≤i<j≤n
aijxixj
Réciproquement une fonction q ainsi définie est une forme quadratique sur E de matrice A= ((aij))1≤i,j≤n dans la baseB.
Le choix d’une base de E permet donc de réaliser un isomorphisme d’espaces vectoriels de Q(E) sur l’espace des polynômes homogènes de degré 2à n variables.
Exercice 11.10 Déterminer la matrice et la forme polaire de la forme quadratique q définie dans la base canonique de K3 par :
q(x) = x21+ 3x22+ 5x23+ 4x1x2+ 6x1x3+ 2x2x3. Solution 11.10 La matrice de q dans la base canonique est :
A=
1 2 3 2 3 1 3 1 5
et sa forme polaire est définie par :
ϕ(x, y) = tXAY =¡
x1 x2 x3 ¢
1 2 3 2 3 1 3 1 5
y1 y2 y3
=x1y1+ 3x2y2+ 5x3y3+ 2 (x1y2+x2y1) + 3 (x1y3+y1x3) +x2y3+x3y2 Exercice 11.11 Soient `1, `2 deux formes linéaires indépendantes sur E.
1. Montrer que l’application q définie sur E par :
∀x∈E, q(x) = `1(x)`2(x) est une forme quadratique et déterminer sa forme polaire.
2. Montrer que q peut s’écrire comme différence de deux carrés de formes linéaires indépen- dantes.
3. On suppose que E =Kn. Donner la matrice de q dans la base canonique de E.
Solution 11.11
1. L’application ϕdéfinie sur E2 par :
∀x∈E2, ϕ(x, y) = 1
2`1(x)`2(y) + 1
2`1(y)`2(x)
est bilinéaire symétrique et q(x) = ϕ(x, x) pour tout x ∈ E. Donc q est une forme quadratique de forme polaire ϕ.
2. On a :
q(x) = 1
4(`1(x) +`2(x))2− 1
4(`1(x)−`2(x))2 les formes linéaires `01 = 1
2(`1+`2) et `02 = 1
2(`1−`2) étant indépendantes puisque `1, `2
le sont. En effet si α`01 +β`02 = 0, on a alors (α+β)`1 + (α−β)`2 = 0, donc α+β = α−β = 0 et α=β = 0.
3. Pour E =Kn, notons dans la base canonique :
`1(x) = Pn
j=1
αjxj
`2(x) = Pn
j=1
βjxj On a alors :
q(x) = Ã n
X
j=1
αjxj
! Ã n X
j=1
βjxj
!
= X
1≤i,j≤n
αiβjxixj = Xn
i=1
αiβix2i + X
1≤i<j≤n
(αiβj +αjβi)xixj
ce qui signifie que la matrice de q est : A= 1
2((αiβj +αjβi))1≤i,j≤n = 1 2
¡ t
L1L2+ tL2L1¢ où L1 =¡
α1 · · · αn ¢
et L2 =¡
β1 · · · βn ¢
sont les matrices de `1, `2 dans la base canonique de Kn.
On peut aussi écrire, en remarquant que t(α) = (α) pour α réel ou complexe, que : ϕ(x, y) = 1
2(`1(x)`2(y) +`1(y)`2(x))
= 1
2((L1X) (L2Y) + (L1Y) (L2X))
= 1 2
¡ t
(L1X) (L2Y) + t(L2X) (L1Y)¢
= 1 2
¡¡ t
X tL1¢
(L2Y) +¡ t
X tL2¢
(L1Y)¢
= 1 2
¡ t X¡ t
L1L2+ tL2L1¢ Y¢
et la matrice A de ϕ, ou de q, est : A= 1
2
¡ t
L1L2+ tL2L1
¢.
Ou encore revenir à la définition de la matrice A = ((aij))1≤i,j≤n de q dans la base canonique (ei)1≤i≤n :
aij =ϕ(ei, ej) = 1
2(`1(ei)`2(ej) +`1(ej)`2(ei))
= 1
2(αiβj+αjβi)
Exercice 11.12 Soit L une matrice ligne à n colonnes. Montrer que la matrice A = tLL est une matrice carrée symétrique et que la forme quadratique q de matrice A dans la base canonique de Kn est le carré d’une forme linéaire.
Solution 11.12 Si L=¡
α1 α2 · · · αn ¢
, on a alors :
A=
α1 α2 ...
αn
¡ α1 α2 · · · αn
¢= ((αiαj))1≤i,j≤n
ce qui défini bien une matrice symétrique d’ordre n.
La forme quadratique q de matrice A est alors définie par : q(x) = tXAX = tX¡ t
LL¢
X = t(LX) (LX) = (LX)2
avec LX = `(x) où ` est la forme linéaire de matrice L dans la base canonique de Kn. On a donc q =`2.
Exercice 11.13 Soient p un entier naturel non nul, `1,· · · , `p des formes linéaires sur E et λ1,· · · , λp des scalaires. Montrer que l’application q définie sur E par :
∀x∈E, q(x) = Xp
j=1
αj`2j(x)
est une forme quadratique et déterminer sa forme polaire.
Solution 11.13 L’application ϕ définie sur E2 par :
∀x∈E2, ϕ(x, y) = Xp
j=1
αj`j(x)`j(y) est bilinéaire symétrique et q(x) =ϕ(x, x) pour tout x∈E.
Nous allons voir que sur un espace de dimension finie toute forme quadratique peut se mettre sous la forme indiquée par l’exercice précédent.
L’utilisation des dérivées partielles peut être intéressante pour déterminer rapidement la forme polaire d’une forme quadratique sur Rn.
