ECE 2 MATHEMATIQUES
DS 9 - A - Concours Blanc 2 - durée : 4h
26 mars 2021
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On noteE = R2[X]l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 2 et on rapelle que la familleB= (e0, e1, e2)est une base deE, les fonctionse0, e1, e2étant définies par :
∀t∈R, e0(x) = 1, e1(x) =x et e2(x) =x2.
On considère l’applicationϕqui, à toute fonctionP deE, associe la fonction, notéeϕ(P), définie par :
∀x∈R, (ϕ(P)) (x) = Z 1
0
P(x+t)dt.
1. a. Montrer queϕest linéaire.
b. Déterminer(ϕ(e0)) (x),(ϕ(e1)) (x)et(ϕ(e2)) (x)en fonction dex, puis écrireϕ(e0), ϕ(e1)etϕ(e2) comme combinaisons linéaires dee0, e1, e2.
c. Déduire des questions précédentes queϕest un endomorphisme deE.
2. a. Écrire la matriceAdeϕdans la baseB. On vérifiera que la première ligne deAest
1 1 2
1 3
. b. Justifier queϕest un automorphisme deE.
c. L’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?
3. Compléter les commandes Scilab suivantes pour que soit affichée la matriceAn: n=input(’entrer une valeur pour n :’)
A=[...]
disp(...)
4. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, il existe un réeluntel que l’on ait : An=
1 n/2 un
0 1 n
0 0 1
.
Donneru0 et établir que ∀n∈N, un+1=un+1
6(3n+ 2).
b. En déduire, par sommation, l’expression deunpour tout entiern.
Exercice II.
Une urne contient10boules :3rouges et7bleues. On effectue des tirages avec remise dans l’urne.
La partie se termine dès la première obtention d’une boule rouge.
On modélise la situation par une suite infinie de tirages dans l’urne, puisque l’on ne sait a priori pas combien de temps va durer la partie.
On considère, pour(n, k)∈(N∗)2, les évènements : Ek= {Leketirage donne une boule rouge}
Tn= {Une boule rouge apparaît pour la première fois aunetirage}
On notepn=P(Tn).
Partie A.
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1. Pourn∈N∗, exprimerTnen fonction des(Ek)16k6n. 2. Démontrer que ∀n∈N∗, pn=
7 10
n−1
3 10.
3. Décrire par une phrase concrète et simple l’évènement T = [
n∈N∗
Tn? 4. Montrer queP(T) = 1.
5. Que cela signifie-t-il concrètement ? Partie B.
Deux joueursAetB effectuent, chacun à leur tour, des tirages avec remise dans l’urne.
Acommence.Aeffectuera donc les tiragesno1,3,5, ..., etB les tiragesno2,4,6, ...
Le premier joueur obtenant une boule rouge gagne la partie, et le jeu se termine à cet instant.
On conserve les notations de laPartie A.
1. Décrire par une phrase simple l’évènement F = [
n∈N
T2n+1.
2. Montrer que P(F) = 10 17. 3. A qui le jeu est-il favorable ?
4. Préciser la probabilité de gagner du joueurB. Exercice III.
Partie 1 : étude de quelques propriétés d’une variable aléatoireX Dans cet exercice, soit θ∈
0,1
2
.
On considère la fonctionf définie par :f(x) =
1
θx1+1θ six>1 0 six <1
.
1. Montrer quef peut être considérée comme une densité.
On considère dans la suite une variable aléatoireXde densitéf et on noteF sa fonction de répartition.
2. Montrer queXpossède une espérance et une variance et les déterminer.
3. Déterminer, pour tout réelx, l’expression deF(x)en fonction dexetθ.
4. a. Montrer que l’équationF(x) = 1
2 possède une seule solution, notéeMe, que l’on déterminera.
b. Montrer que ∀x∈
0,1 2
,2x(1−x)61.
c. ComparerE(X)etMe. 5. Soita>1etb >0.
a. Montrer queP[X>a](X > a+b) = a
a+b 1/θ
.
b. Déterminer la limite de cette quantité lorsqueatend vers+∞. Interpréter cette dernière valeur si l’on admet que la variableXreprésente la durée de vie d’un certain appareil.
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Partie 2 : simulation deX
6. On poseY = ln(X)et on admet queY est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé queX. On noteGsa fonction de répartition.
a. Pour tout réelx, exprimerG(x)à l’aide de la fonctionF.
b. En déduire queY suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
7. On rappelle qu’en Scilab, la commande grand(1,1,’exp’,1/lambda) simule une variable aléa- toire suivant la loi exponentielle de paramètreλ. Écrire des commandesScilabutilisantgrandet per- mettant de simulerX.
Partie 3 : estimation d’un paramètre
On suppose dans la suite que le paramètreθest inconnu et on souhaite en trouver une estimation ponctuelle puis par intervalle de confiance.
On considère pour cela nvariables aléatoiresY1, . . . , Yn toutes définies sur le même espace probabilisé, mu- tuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi queY.
8. On poseTn= 1 n
n
X
k=1
Yk.
a. Tnest-il un estimateur sans biais deθ?
b. Calculer le risque quadratique deTnen tant qu’estimateur deθ.
Tnest-il un estimateur convergent deθ?
9. a. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variableTn. b. Établir l’inégalité :
∀ε >0, P
θ∈[Tn−ε, Tn+ε]
>1− θ2 nε2 c. En utilisant le fait queθ 6 1
2, déterminer un intervalle de confiance pourθau niveau de confiance 90%lorsqu’on choisitn= 1000.
Exercice IV.
On notef :R→Rl’application définie, pour toutx∈R, par f(x) =
x
ex−1 six6= 0 1 six= 0
.
Partie I : Étude d’une fonction
1. a. Montrer quef est continue surR.
b. Justifier quefest de classeC1 sur]−∞; 0[et sur]0; +∞[.
c. Etudier la dérivabilité def en0, et vérifier que f0(0) =−1 2. d. Calculerf0(x), pour toutx∈R∗.
2. a. Étudier les variations de la fonctionudéfinie surRpar u(x) = (1−x)ex−1.
b. Montrer que ∀x∈R, f0(x)<0.
c. Déterminer les limites def en−∞et en+∞
Dresser le tableau des variations def.
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d. Montrer que la courbe représentative def admet une asymptote oblique en−∞. e. Tracer l’allure de la courbe représentative def.
Partie II : Étude d’une suite récurrente associée à la fonction.f
On considère la suite(un)n∈N, définie paru0 = 1et, pour toutn∈N, un+1 =f(un).
1. Montrer quef admet un point fixe et un seul, notéα, que l’on calculera.
2. a. Établir que ∀x∈[0; +∞[, e2x−2x ex−1>0 b. Montrer que ∀x∈]0; +∞[, f0(x) +1
2 = e2x−2x ex−1 2 (ex−1)2 c. Montrer que ∀x∈[0; +∞[, −1
2 6f0(x)<0.
d. Établir que ∀n∈N, |un+1−α|6 1
2|un−α|
3. En déduire que ∀n∈N, |un−α|6 1
2n(1−α) 4. Conclure que la suite(un)n∈Nconverge versα.
5. Écrire un programme Scilab qui calcule et affiche un entier naturelntel que |un−α|<10−9. Partie III : Étude d’une fonction définie par une intégrale
On noteG:R→Rl’application définie, pour toutx∈R,par G(x) = Z 2x
x
f(t)dt.
1. Montrer queGest de classeC1surRet que, pour toutx∈R, G0(x) =
x(3−ex)
e2x−1 six6= 0 1 six= 0
.
2. a. Montrer que ∀x∈[0; +∞[, 06G(x)6x f(x).
En déduire la limite deGen+∞.
b. Montrer que ∀x∈]−∞; 0], G(x)6x f(x). En déduire la limite deGen−∞.
3. Dresser le tableau des variations deG. On n’essaiera pas de calculerG(ln 3).
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