ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
2 décembre 2020
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
On noteB = (e1, e2, e3, e4, e5)la base canonique deR5. On désigne parI la matrice identité deM5(R)et on considère l’endomorphismef deR5dont la matrice dans la baseBest :
C=
1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
1. a. Déterminer la dimension de l’image def, puis montrer que la famille(e2+e3+e4, e1+e5) en est une base.
b. En déduire la dimension deKer(f), puis donner une base deKer(f).
2. On note u=e2+e3+e4 et v=e1+e5.
a. Ecriref(u)etf(v)comme combinaisons linéaires dee1, e2, e3, e4, e5, puisf(u−v)etf(u+3v)comme combinaisons linéaires deuetv.
b. En déduire les valeurs propres def et préciser les sous-espaces propres associés.
c. Etablir queCest diagonalisable, et déterminer une matriceDdiagonale et une matriceRinversible telles queC =RDR−1.
3. a. Etablir la relation suivante :D(D+I)(D−3I) = 0.
b. En déduire que le polynômePdéfini parP(X) =X3−2X2−3Xest annulateur deC, sans expliciter les coefficients des matrices éventuellement calculées.
4. On admet (principe de la division euclidienne) que, pour tout entier naturelnnon nul, il existe un unique polynômeQnet trois réelsan, bnetcntels que :
Xn= (X3−2X2−3X)Qn(X) +anX2+bnX+cn
a. En utilisant les racines deP, déterminer les valeurs dean,bnetcn, en fonction den.
b. Déduire de ce qui précède l’expression deCnen fonction deCetC2. c. La relation précédente est-elle encore valable pourn= 0?
5. Compléter le programme suivant pour qu’il construise C (à l’aide des commandes zeros et ones), et renvoieCn, si l’utilisateur entre un entiern∈N∗.
n=...
A=ones(1,5) B=[...]
C=...
disp(...)
ECE 2 1/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
2 décembre 2020
Exercice II.
Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notésC1,C2etC3 arrivent en même temps.
Les clientsC1 etC2 se font servir, tandis que le clientC3 attend, puis effectue son opération dès que l’un des deux guichets s’est libéré.
On définit les variables aléatoiresX1,X2etX3 égales aux durées respectives des opérations des cliensC1,C2 etC3. Ces durées sont mesurées en minutes, et arrondies à l’unité supérieure ou égale.
On suppose que les v.a.X1,X2 etX3 sont indépendantes, et de même loi géométrique de paramètrep∈]0; 1[.
On noteq = 1−p.
On considère l’évènement A={C3 termine en dernier son opération}.
Ainsi, l’évènementAest égal à l’évènement [min(X1, X2) +X3 > max(X1, X2)].
On se propose de calculer la probabilité deA.
1. Rappeler la loi deX1, ainsi que son espéranceE(X1)et sa varianceV(X1), sans calcul.
On définit la variable aléatoireD=|X1−X2|, qui est l’écart en temps entre la fin des services des deux premiers clientsC1etC2.
2. Décrire par une phrase concrète simple l’évènement[D= 0].
3. Calculer P(D= 0).
4. a. Soitn∈N∗. Justifier l’égalité P(X2−X1 =n) =
+∞
X
k=1
P(X1 =k)P(X2 =n+k).
b. En déduire que ∀n∈N∗, P(D=n) = 2pqn 1 +q. 5. a. Montrer queDadmet une espérance, et la calculer.
b. Vérifier que E((X1−X2)2) = 2V(X1).
c. En déduire queDadmet une variance, et la calculer.
6. Montrer l’égalité d’évènements A= [X3> D].
7. a. En déduire que P(A) =
+∞
X
k=0
P(D=k)P(X3> k).
b. Montrer que P(A) = 1 +q2 (1 +q)2. 8. On suppose maintenant quep= 1
3.
a. Quel est le temps moyen de service d’un client ? b. CalculerP(A)dans ce cas particulier.
ECE 2 2/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
2 décembre 2020
Exercice III.
On suppose que le nombre N de colis expédiés à l’étranger chaque jour par une entreprise suit une loi de Poisson de paramètreλ. Ces colis sont expédiés indépendamment les uns des autres.
La probabilité pour qu’un colis expédié à l’étranger soit détérioré est égale àp∈[0; 1].
On s’intéresse aux colis expédiés à l’étranger un jour donné :
— N est la variable aléatoire égale au nombre de colis expédiés
— Xest la variable aléatoire égale au nombre de colis détériorés
— Y est la variable aléatoire égale au nombre de colis en bon état On a doncX+Y =N.
1. Soitn∈N, etk∈[[0;n]]. Expliquer pourquoi P[N=n](X=k) = n
k
pk(1−p)n−k. 2. En déduire que X ,→P(λp).
3. En déduire sans calcul la loi de la loi deY.
4. En notant pkj =P([X =k]∩[Y =j]), pour(j, k)∈N2, vérifier que P(X=k)P(Y =j) =pkj. Que peut-on en deduire ?
5. Calculer le coefficient de corrélation ρ(X, Y).
ECE 2 3/4 Lycée François Couperin
ECE 2 MATHEMATIQUES DS 3 - durée : 4h
2 décembre 2020
Exercice IV.
On considère, pourn∈N, l’intégrale In= Z 1
0
tn t2+ 1dt.
Partie A. Première approche.
1. Pourn∈N, justifier l’existence deIn. 2. Calculer I1.
3. Vérifier que ∀t∈[0; 1], t2
t2+ 1 = 1− 1 t2+ 1. 4. On admet que I0 = π
4. Calculer I2. Partie B. Variations et conséquence.
1. Vérifier que ∀n∈N, In>0.
2. Etudier les variations de la suite(In)n∈N. 3. La suite(In)n∈Nest-elle convergente ? Justifier.
Partie C. Limite.
1. Vérifier que ∀t∈[0; 1], tn
t2+ 1 6tn. 2. Montrer alors que ∀n∈N, In6 1
n+ 1. 3. En déduire la limite de la suite(In)n∈N. Partie D. Une somme.
1. Montrer que ∀n∈N, In+2 = 1
n+ 1−In. 2. En déduire que ∀n∈N, I2n= (−1)n π
4 −
n−1
X
k=0
(−1)k 2k+ 1
!
. (On admet que
−1
X
k=0
(−1)k 2k+ 1 = 0.)
3. Déterminer la valeur de la somme suivante :
+∞
X
k=0
(−1)k 2k+ 1. 4. Pouvez-vous déterminer la valeur de
+∞
X
k=1
(−1)k k ? Partie E. Scilab.
1. Compléter le programme suivant pour qu’il calculeI80à partir de la relation de récurrence duD.1.
I=...
for ...
I=...
end disp(I)
2. Combien d’opérations et d’affectations y ont été effectuées ?
ECE 2 4/4 Lycée François Couperin
