ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 1
21 septembre 2020
Exercice I.
On noteA=
(x, y)∈R2| |x|61et|y|61 etB=n
(x, y)∈R2|p
x2+y26√ 2o
. Montrer queA⊂B; l’inclusion est-elle stricte ?
Exercice II.
SoitA∈ Mn(R)une matrice symétrique.
On définit les ensemblesE={M ∈ Mn(R)|M A=AMetM A=tM}etF =
M ∈ Mn(R)|A2M =M . 1. Vérifier queEest un espace vectoriel.
2. F est-il un espace vectoriel ? Justifier.
3. Montrer queE⊂F.
Exercice III.
Montrer que V ect
−1 2 3
;
−3 3 2
=V ect
0 3 7
;
−7 5 0
.
Exercice IV.
Soitf la fonction définie sur[0,1]par f(x) =x−2√ x+ 1.
1. Etudier les variations def.
2. Justifier que pour toutx∈[0,1], l’expression(f◦f)(x)a un sens et montrer que(f◦f)(x) =x.
3. En déduire quef est bijective et donner une expression def−1 en fonction de f. Que peut-on déduire pour la courbe(C)?
Exercice V.
Soitaun entier strictement positif. On dispose d’un jeu usuel de2ncartes (n = 16ou26) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux d’argent régis par les protocoles suivants.
I. Premier protocole
Les cartes du jeu sont alignés sur une table de façon alétoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu’à obtenir le premier roi rouge. On noteX la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier roi rouge etE(X) son espérance.
On noteraRk={leketirage a donné un roi rouge}.
1. Montrer que ∀k∈ {1, ...,2n−1}, P(X =k) = 2n−k n(2n−1).
(On prendra soin d’exprimer auparavant l’évènement[X=k]en fonction des évènements élémentaires.) 2. Montrer que E(X) =2n+ 1
3 .
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu’il découvre une carte et gagneafrancs losqu’il obtient le premier roi rouge.
On noteG1la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à laki`eme carte découverte,G1est égale àa−k.
Déterminer l’espérance de la variable aléatoireG1.
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II. Deuxième protocole
Les2ncartes du même jeu sont alignés sur une table de façon aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir au maximum ncartes. Le joueur paie un franc chaque fois qu’il découvre une carte et gagnea francs losqu’il obtient le premier roi rouge.On noteG2 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à laki`emecarte découverte(k6n),G2est égale àa−k,et si le joueur n’obtient pas de roi rouge à l’issue desn premiers tirages, alorsG2est égale à−n.
1. Pour tout entierk∈ {1, ..., n},déterminer P(G2=a−k). 2. Vérifier que P(G2=−n) = n−1
2 (2n−1). 3. Montrer que E(G2) =3 (3n−1)a− 7n2−1
6 (2n−1) . III. Comparaison des deux protocoles
On suppose le jeu constitué de 32 cartes (n = 16). Déterminer, selon les valeurs dea, le protocole le plus favorable au joueur. Justifier la réponse.
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