ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 7 - A
13 janvier 2020
Exercice I.
On considère les matrices suivantes :
I= 1 0 0 1
!
, A= 1 0
0 −1
!
B= 2 2 1 3
!
Partie I : Étude de la matrice B
1. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deB. Est-ce queBest diagonalisable ?
2. Déterminer une matrice diagonaleDdeM2(R), dont les coefficients diagonaux sont dans l’ordre croissant, et une matrice inversiblePdeM2(R)dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à1, telles queB=P DP−1 3. Vérifier queD2= 5D−4Iet exprimerB2comme combinaison linéaire deBetI.
4. Montrer queBest inversible et exprimerB−1comme combinaison linéaire deBetI.
Partie II : Étude d’un endomorphisme de M
2( R )
On considère l’application h:M2(R)→ M2(R), M 7−→h(M) =AM B. 1. Vérifier quehest un endomorphisme deM2(R).
2. Montrer quehest bijectif et exprimerh−1sous une forme analogue à celle donnée pourh. 3. On se propose dans cette question de déterminer les valeurs propres deh.
a. Soitλ∈RetM ∈ M2(R).
On noteN =M P, ouPest la matrice définie dans la questionI.2.
Montrer :h(M) =λM ⇐⇒AN D=λN,oùDest la matrice définie dans la questionI.2.
b. Déterminer les réelsλpour lesquels il existe une matriceNdeM2(R)non nulle telle queA N D=λN.À cet effet, on pourra noterN = x y
z t
!
c. En déduire les valeurs propres deh. Montrer quehest diagonalisable et, donner une matrice diagonale repré- sentanth.
d. On noteel’endomorphisme identité deM2(R)et on note0l’endomorphisme nul deM2(R) Montrer :(h−e)◦(h+e)◦(h−4e)◦(h+ 4e) = 0.
Exercice II.
Dans cet exercice,pdésigne un réel de]0; 1[et on noteq= 1−p.
On considère deux variables aléatoiresXetY définies sur le même espace probabilisé(Ω,A, P), indépendantes et suivant toutes deux la même loi géométrique de paramètrep.
1. On poseZ = min(X, Y)et on admet queZ est une variable aléatoire, elle aussi définie sur l’espace probabilisé (Ω,A, P).
On rappelle que, pour tout entier naturelk, on a l’égalité :[Z > k] = [X > k]∩[Y > k].
a. Pour tout entier naturelk, calculerP(Z > k).
b. Etablir que, pour tout entier naturelksupérieur ou égal à 1, on a :
P(Z =k) =P(Z > k−1)−P(Z > k) c. En déduire queZsuit la loi géométrique de paramètre(1−q2).
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13 janvier 2020
2. On définit la variable aléatoireTde la façon suivante :
Pour toutωdeΩtel queX(ω)est un entier naturel pair, on poseT(ω) = X(ω)
2 , et, pour toutωdeΩtel queX(ω) est un entier naturel impair, on poseT(ω) =1 +X(ω)
2 .
On admet queT est une variable aléatoire, elle aussi définie sur(Ω,A, P). a. Montrer queTprend des valeurs entières non nulles.
b. Réciproquement, justifier que tout entier naturelknon nul est élément deT(Ω)et en déduire queT(Ω) =N∗. c. Exprimer l’événement[T =k]en fonction de certains événements[X=i]puis montrer queT suit la même loi
queZ.
3. On rappelle que la fonction random renvoie de façon uniforme un réel aléatoire élément de[0; 1[.
Recopier et compléter le programme suivant pour que, d’une part, il simule les lancers d’une pièce donnant”pile”
avec la probabilitépet calculer la valeur prise par la variable aléatoireX égale au rang du premier”pile”obtenu lors de ces lancers (X suit bien la loi géométrique de paramètrep) et pour que, d’autre part, il calcule et affiche la valeur prise parT, la variable aléatoireT ayant été définie dans la deuxième question.
p=input(’entrez p’) x=...
while rand()...
x=...
end
if floor(x/2)==... then t=...
else ...
end
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