ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 5
10 décembre 2019
obligatoire : Ex I.
au choix : Ex II ou Ex III.
Exercice I.
On dispose d’un dé équilibré à 6 faces et d’une pièce truquée donnant Pile avec probabilitép∈]0; 1[. On noteq= 1−p. SoitN ∈N∗fixé. On effectueN lancers du dé. Sinest le nombre de "6" obtenus, on lance alorsnfois la pièce.
On définit trois variables aléatoiresX,Y etZde la manière suivante :
— Zindique le nombre de "6" obtenus aux lancers du dé,
— Xindique le nombre de Piles obtenus aux lancers de la pièce,
— Y indique le nombre de Faces obtenues aux lancers de la pièce.
Ainsi,X+Y =Z, et, siZprend la valeur 0, alorsXetY prennent la valeur 0.
1. Préciser la loi deZ, son espérance et sa variance.
2. Pourk∈Netn∈N, déterminerP[Z=n](X =k). On distinguera les cask≤netk > n. 3. Montrer, pour tout couple d’entiers naturels(k, n), que :
— si06k6n6N, alorsP([X =k]∩[Z=n]) = n
k N
n
pk(1−p)n−k 5
6
N−n 1 6
n
— sin > Nouk > n, alorsP([X=k]∩[Z =n]) = 0 4. Calculer la probabilitéP(X = 0).
5. Montrer pour tout couple d’entiers naturels(k, n)vérifiant0≤k≤n≤N, que n
k N
n
= N
k
N−k n−k
. En déduire la probabilitéP(X =k).
6. Montrer queX ,→B N,p
6 .
Quelle est la loi de la variable aléatoireY?
7. Est-ce que les variables aléatoiresX etY sont indépendantes ? Déterminer la loi du couple(X, Y).
8. En comparant les variances deZet deX+Y, déterminer la covariance du couple(X, Y).
Exercice II.
Pour toutn ∈ N∗, on noteMn(R)l’ensemble des matrices carrées ànlignes etncolonnes à coefficients réels etBn(R) l’ensemble des matrices carrées deMn(R)dont tous les coefficients sont égaux à0ou à1.
1. Exemple 1. SoitAla matrice deB2(R)définie par :A= 0 1 1 0
! . a. CalculerA2.
b. Quelles sont les valeurs propres deA? c. La matriceAest-elle diagonalisable ?
2. Exemple 2. SoitBla matrice deB3(R)définie par :B=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
. On considère les instructions et la sortie (-->)Scilabsuivantes : B=[0,1,0;1,0,0;0,0,1]
P=[1,1,0;1,-1,0;0,0,1]
inv(P)*B*P -->
1. 0. 0.
0. -1. 0.
0. 0. 1.
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a. Déduire les valeurs propres deBde la séquenceScilabprécédente.
b. Donner une base de chacun des sous-espaces propres deB. 3. a. Combien existe-t-il de matrices appartenant àBn(R)?
b. Combien existe-t-il de matrices deBn(R)dont chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un coef- ficient égal à 1 ?
4. Dans cette question,nest un entier supérieur ou égal à2.
SoitEun espace vectoriel de dimensionnetuun endomorphisme deE. On note :
• idl’endomorphisme identité deE;
• Fle noyau de l’endomorphisme(u+id)etGle noyau de l’endomorphisme(u−id);
• pla dimension deF etqla dimension deG. On suppose queu◦u=id.
a. Justifier que l’image de(u−id)est incluse dansF. b. En déduire l’inégalité :p+q≥n.
On suppose désormais que1≤p < q. Soit(f1, f2, . . . , fp)une base deFet(g1, g2, . . . , gq)une base deG.
c. Justifier que(f1, f2, . . . , fp, g1, g2, . . . , gq)est une base deE.
d. Calculeru(g1−f1)etu(g1+f1);
e. Trouver une base deEdans laquelle la matrice deuappartient àBn(R).
Exercice III.
On considère l’applicationf : [0; +∞[−→R, définie, pour toutxde[0; +∞[, par :
f(x) =
x
ex−1 six >0 1 six= 0
1. a. Montrer quefest continue sur[0; +∞[.
b. Montrer quefest de classeC1sur]0; +∞[. Pour toutx∈]0,+∞[, calculerf0(x). c. Montrer quef0(x)tend vers−1
2 lorsquextend vers0. d. En déduire quef estC1sur[0; +∞[.
2. a. Montrer quefest de classeC2sur]0; +∞[et que ∀x∈]0; +∞[, f00(x) = ex
(ex−1)3(xex−2ex+x+ 2) b. Etudier les variations de la fonctiongdéfinie surR+par g(x) =xex−2ex+x+ 2.
En déduire que ∀x∈]0; +∞[, f00(x)>0.
c. En déduire le tableau de variation def. On précisera la limite def en+∞.
3. On considère la suite(un)n>0définie paru0= 0et ∀n∈N, un+1=f(un). a. Montrer que ∀x∈[0; +∞[, |f0(x)|6 1
2 et 06f(x)61. b. Résoudre l’équationf(x) =x, d’inconnuex∈]0; +∞[.
c. Montrer que ∀n∈N, |un+1−ln(2)|61
2|un−ln(2)|. d. Etablir que la suite(un)n>0converge et déterminer sa limite.
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