ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 7
4 janvier 2021
Ex I :tout le monde Ex II :DS3>7 Ex III :DS3<7
Exercice I.
On notefla fonction définie, pour tout réelxstrictement positif, par f(x) =e1x x2. 1. a. Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal à1, montrer que l’intégrale In =
Z +∞
n
f(x)dx est convergente et exprimerInen fonction den.
b. En déduire que In ∼
+∞
1 n.
2. Montrer que la série de terme général un=f(n) est convergente.
3. a. Établir que ∀k∈N∗, f(k+ 1)6 Z k+1
k
f(x)dx6f(k).
b. En sommant soigneusement cette dernière inégalité, montrer que ∀n∈N∗,
+∞
X
k=n+1
uk 6In6
+∞
X
k=n+1
uk+en1 n2
c. Déduire des questions précédentes un équivalent simple, lorsquenest au voisinage de+∞, de
+∞
X
k=n+1
e1k k2.
Exercice II.
Soitnun entier supérieur ou égal à 2 etB= (e1, e2, . . . , en)la base canonique deRn. Soitvun vecteur donné deRnde coordonnéesv1, v2, . . . , vndans la baseBet qui vérifie
n
X
i=1
vi= 1.
Soit f l’application définie sur Rn qui à tout vecteur x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, associe le vecteur f(x) défini par : f(x) =x−Xn
i=1
xi
v.
1. a. Montrer quefest un endomorphisme deRn. b. Montrer quef◦f =f.
2. Déterminer le spectre def.
3. a. Montrer que le vecteuryappartient à l’image def, notée Imf, si et seulement sif(y) =y. b. Montrer que la dimension de Imf est inférieure ou égale àn−1.
c. Montrer que pour touti∈[[1, n−1]], on a(ei−ei+1)∈Im(f).
d. En déduire une base et la dimension de Imf. Quel est le rang def? 4. a. Déterminer une base du noyau def.
b. Quels sont les sous-espaces propres def? c. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
5. Écrire la matriceM de l’endomorphismef dans la base canonique deRn et la matriceM0def dans une base de vecteurs propres.
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4 janvier 2021
Exercice III.
On considère l’espace vectorielE=R3etfl’endomorphisme deEdont la matrice dans la base canoniqueB= (−→e1,−→e2,−→e3) est la matriceA:
A=
3 −2 3
1 0 2
0 0 2
1. Déterminer les valeurs propresλ1etλ2de l’endomorphismef, avecλ1< λ2
2. La matriceAest-elle inversible ? (On ne demande pas la matriceA−1).
3. Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres def. 4. Justifier quef n’est pas diagonalisable.
5. Déterminer le vecteur−u→1deEvérifiant :
— −→u1est un vecteur propre defassocié à la valeur propreλ1
— la première composante de−→u1est l.
6. Déterminer le vecteur−u→2deEvérifiant :
— −→u2est un vecteur propre defassocie à la valeur propreλ2
— la deuxième composante de−u→2est l.
7. Soit−u→3= (1,1,1). Montrer queC= (−u→1,−u→2,−→u3)est une base deE.
8. Déterminer la matrice de passagePde la baseBà la baseCpuis la matrice de passage de la baseCà la baseB. 9. Montrer que f(−u→3) =−u→2+ 2−u→3.
10. En déduire que la matrice def dans la baseCest la matrice :
T =
1 0 0 0 2 1 0 0 2
11. Rappeler la relation matricielle entreAetT.
12. Montrer que :
∀n∈N∗, Tn=
1 0 0
0 2n n2n−1 0 0 2n
13. En déduire l’écriture matricielle deAnen fonction den.
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