ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 3
2 novembre 2020
Exercice I.
On noteB= (e1, e2, e3)la base canonique deR3.
Soitf l’endomorphisme deR3dont la matrice dans la baseBest A=
−1 2 −1
−4 5 −3
−2 2 −1
.
1. Soit(x, y, z)∈R3. a. Ecriref(x, y, z).
b. Calculer(f ◦f ◦f)(x, y, z). 2. a. DéterminerKer(f)etIm(f).
b. L’endomorphismef est-il bijectif ?
3. On considère u2∈V ect(e2, e3) et u3∈V ect(e1, e3). a. Soitu1= (1; 1; 0). Calculerf(u1).
b. Détermineru2etu3vérifiant f(u2) =u1+u2 et f(u3) = 2u2+u3. c. Vérifier alors queB0= (u1, u2, u3)est une base deR3.
d. Ecrire la matriceA0def dans la baseB0. e. Calculer(A0)−1, et en déduireA−1.
Exercice II.
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher.
On appelle " épreuve " la séquence suivante : On tire une boule de l’urne, puis :
— Si la boule tirée est bleue , on la remet dans l’urne.
— Si la boule tirée est rouge , on ne la remet pas dans l’urne mais on remet une boule bleue dans l’urne à sa place.
L’expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d’épreuves.
Pour tout entier naturelnnon nul, on noteYnla variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans l’urne à l’issue de laneépreuve.
On notera pour chaque entier naturelknon nul les événements suivants :
Rk={Lors de lak-ième épreuve on a extrait une boule rouge de l’urne} et Bk =Rk
1. Donner la loi de probabilité deY1.
2. Quelles sont les valeurs possibles deYndans le cas oùnest supérieur ou égal à 2 ? 3. Calculer P(Yn= 2).
4. On pose un=P(Yn= 1).
a. Rappeler la valeur deu1et montrer queu2= 2 3.
b. En utilisant un système complet d’événements lié à la variableYn, montrer que ∀n>2, un+1=2
3un+ 2 3n+1. Cette relation reste-t-elle valable lorsquen= 1?
c. On pose, pour tout entier naturelnnon nul, vn=un+ 2 3n. Montrer que la suite(vn)n∈N∗est géométrique.
En déduirevnen fonction denet dev1,
Etablir enfin que pour tout entier naturel non nuln,un = 2 2
3 n
− 2 3n. d. Déduire des résultats précédentsP(Yn = 0).
5. Calculer l’espérance deYn.
ECE 2 1/1 Lycée François Couperin
